Satelita stacjonarny krąży wokół swojej planety bez...- Zadanie 4.34.: Fizyka 1-3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a)$

Satelita stacjonarny musi krążyć po orbicie znajdującej się w płaszczyźnie równika tej planety.

$b)$

Okres obrotu (dzień) Marsa wokół własnej osi wynosi:

$T_{M} = 1, 03 dnia = 1, 03 \cdot 24 h = 1, 03 \cdot 34 \cdot 3600 s =$

$= 88992 s \approx 8, 9 \cdot 10^{4} s$

Wiemy, że masa Marsa wynosi:

$M_{M} = 0, 11 M_{Z}, gdzie M_{Z} = 6 \cdot 10^{24} kg$

Wówczas:

$M_{W} = 0, 11 \cdot 6 \cdot 10^{24} kg = 0, 66 \cdot 10^{24} kg = 6, 6 \cdot 10^{23} kg$

Przyjmujemy, że wartość stałej grawitacji wynosi:

$G = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}$

Siłę dośrodkową działającą na tego satelitę w zależności od okresu obiegu przedstawimy wzorem:

$F_{d} = \frac{m v ^{2}}{r}$

$F_{d} = \frac{m ( \frac{2 π r}{T} ) ^{2}}{r}$

$F_{d} = \frac{m \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{T ^{2}}}{r}$

$F_{d} = \frac{4 π ^{2} r m}{T ^{2}}$

Siła ta odpowiada sile grawitacji, czyli:

$F_{d} = F_{g}$

Przy czym wiemy, że:

$F_{g} = \frac{G M _{M} m}{r ^{2}}$

Wówczas promień orbity satelity ma postać:

$F_{d} = F_{g}$

$\frac{4 π ^{2} r m}{T ^{2}} = \frac{G M _{M} m}{r ^{2}} ∣ \cdot T^{2} r^{2}$

$4 π^{2} r^{3} = G M_{M} T^{2} ∣ : 4 π^{2}$

$r^{3} = \frac{G M _{M} T ^{2}}{4 π ^{2}} ∣ 3$

$r = 3 \frac{G M _{M} T ^{2}}{4 π ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r = 3 \frac{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 6 , 6 \cdot 10 ^{23} kg \cdot ( 8 , 9 \cdot 10 ^{4} s ) ^{2}}{4 \cdot 3 , 14 ^{2}} =$

$= 3 \frac{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 6 , 6 \cdot 10 ^{23} kg \cdot 79 , 21 \cdot 10 ^{8} s ^{2}}{4 \cdot 9 , 8596} =$