Dane:

$h_1=17\text{km}=17000\text{m}$

$h_2=10\text{km}=10000\text{m}$

$s_1=7\text{km}=7000\text{m}$

$s_2=6000\text{m}$  

$v_1=1260\frac{\text{km}}{\text{h}}=\stackrel{7}{\sout{1260}}\cdot \frac{1000\text{m}}{\underset{20}{\sout{3600}}\text{s}}=\frac{7000\text{m}}{20\text{s}}=350\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_2=600\frac{\text{m}}{\text{min}}=\frac{600\text{m}}{60\text{s}}=10\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_3=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$a=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Ruch kapsuły możemy podzielić na trzy etapy:

• etap 1: ruch jednostajnie przyspieszony (bez spadochronu),
• etap 2: ruch jednostajny po natychmiastowym wyhamowaniu do niższej wartości prędkości (z pierwszym stopniem spadochronu),
• etap 3: ruch jednostajny po natychmiastowym wyhamowaniu do niższej wartości prędkości (z drugim stopniem spadochronu).

Kapsuła zaczęła spadać z 7 km osiągając prędkość o wartości 1260 ^km/_h, czyli jeżeli założymy, że początkowa prędkość kapsuły jest zerowa to jej prędkość możemy wyrazić wzorem:

$v_1=a{t}_1$  

gdzie:

$v_1$ - wartość prędkości po pierwszym etapie.

$a$ - wartość przyspieszenia,

$t_1$ - czas ruchu na pierwszym etapie.

Wówczas czas spadku ma postać:

$t_1=\frac{v_1}{a}$  

korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym możemy zapisać, że:

$s_1=\frac{1}{2}a{t}_1^2$  

gdzie:

$s_1$ - droga na pierwszym etapie ruchu.

Wówczas przyspieszenie kapsuły będzie miało postać:

  $s_1=\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_1}{a}\right)}^2$  

  $s_1=\frac{1}{2}a\frac{v_1^2}{a^2}$  

  $s_1=\frac{v_1^2}{2a}\mid \cdot a$  

  $a{s}_1=\frac{v_1^2}{2}\mid :s_1$  

  $a=\frac{v_1^2}{2s_1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanego wzoru:

$a=\frac{{\left(350\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 7000\text{m}}=\frac{122500\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{14000\text{m}}=8,75\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

$\mathbf{b})$  

Otrzymaliśmy, że na wysokości od 17 km do 10 km nad powierzchnią Ziemi kapsuła poruszała się ze średnim przyspieszeniem o wartości:

$a=8,75\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Promień Ziemi jest równy:

$r_{\text{Z}}=6378\mathrm{km}$

Podczas spadku kapsuły przyspieszenie ziemskie zmienia swoją wartość. Z wykresu odczytujemy jego maksymalną wartość na wysokości17 km nad powierzchnią i minimalną - 10 km nad powierzchnią.

$r_1=6378\mathrm{km}+17\mathrm{km}=6395\mathrm{km}$

Dla 6395 km wartość przyspieszenia jest równa:$g_1=9,745\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

$r_2=6378\mathrm{km}+10\mathrm{km}=6388\mathrm{km}$

Dla 6388 km wartość przyspieszenia jest równa: $g_2=9,7675\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Wartość średnia przyspieszenia ziemskiego na tym odcinku:

$g_{\text{sˊr}}=\frac{g_1+g_2}{2}$

$g_{\text{sˊr}}=\frac{9,7675\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}+9,745\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{2}=9,75625\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Obliczamy stosunek wartości wyznaczonego średniego przyspieszenia do średniego przyspieszenia grawitacyjnego.

$\frac{a}{g_{\text{sˊr}}}=\frac{8,75\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{9,75625\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 0,9$

$\frac{a}{g_{\text{sˊr}}}\approx 90\%$

Zatem średnie przyspieszenie kapsuły było mniejsze o 10% od średniego przyspieszenia grawitacyjnego.

 

$\mathbf{c})$  

Podzielmy ruch kapsuły balonu na trzy etapy.

I etap

Kapsuła porusza się z ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem wyznaczonym w podpunkcie $\mathbf{a})$:

 $a=\frac{v_1^2}{2s_1}$  

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia na pierwszym etapie,

$v_1$ - wartość prędkości po pierwszym etapie,

$s_1$ - droga na pierwszym etapie.

Korzystamy z wzoru na drogę w tym ruchu, aby wyznaczyć czas spadku:

$s_1=\frac{a{t}_1^2}{2}$

gdzie:

$t_1$ - czas ruchu na pierwszym etapie.

Zatem:

$\frac{a{t}_1^2}{2}=s_1\mid \cdot 2$  

$a{t}_1^2=2s_1\mid :a$  

$t_1^2=\frac{2s_1}{a}$  

$t_1^2=\frac{2s_1}{\frac{v_1^2}{2s_1}}$  

$t_1^2=\frac{{\left(2s_1\right)}^2}{v_1^2}\mid \sqrt{}$  

$t_1=\frac{2s_1}{v_1}$  

$t_1=\frac{2\cdot 7000\text{m}}{350\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{14000\text{m}}{350\frac{\text{m}}{\text{s}}}=40\text{s}$  

II etap

Kapsuła porusza się ruchem jednostajnym z prędkością o wartości $v_2$:

$v_2=\frac{s_2}{t_2}\mid \cdot t_2$

gdzie:

$v_2$ - wartość prędkości na drugim etapie,

$s_2$ - droga na drugim etapie,

$t_2$ - czas ruchu na drugim etapie.

$v_2{t}_2=s_2\mid :v_2$

$t_2=\frac{s_2}{v_2}$  

$t_2=\frac{6000\text{m}}{10\frac{\text{m}}{\text{s}}}=600\text{s}$  

III etap

Kapsuła porusza się ruchem jednostajnym z prędkością o wartości $v_3$:

$v_3=\frac{s_3}{t_3}\mid \cdot t_3$

gdzie:

$v_3$ - wartość prędkości na trzecim etapie,

$s_3$ - droga na trzecim etapie,

$t_3$ - czas ruchu na trzecim etapie.

$v_3{t}_3=s_3\mid :v_3$

$t_3=\frac{s_3}{v_3}$

W tym przypadku droga przebyta przez kapsułę jest różnicą całkowitej drogi i drogi przebytej na wcześniejszych etapach:

$s_3=h_1-s_1-s_2$  

Wówczas:

$t_3=\frac{h_1-s_1-s_2}{v_3}$

$t_3=\frac{17000\text{m}-7000\text{m}-6000\text{m}}{6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}=\frac{4000\text{m}}{6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\approx 667\text{s}$  

Zatem całkowity czas opadania kapsuły na Ziemię wynosi:

$t=t_1+t_2+t_3$  

$t=40\text{s}+600\text{s}+667\text{s}=1307\text{s}=1260\text{s}+47\text{s}=$  

$=21\cdot 60\text{s}+47\text{s}=21\text{min}47\text{s}$