Dane:

$v_0=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$h_0=1,95\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$h_1=\text{?}$  

$v_2=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Ruch piłki przeanalizujemy w dwóch etapach. Najpierw rozpatrzymy ruch piłki w górę, a następnie w dół.

Piłka wznosi się w górę ruchem jednostajnie opóźnionym z przyspieszeniem równym przyspieszeniu ziemskiemu. Drogę jaką przebywa wyrazimy jako:

$s_1=v_0{t}_1-\frac{1}{2}g{t}_1^2$

gdzie:

$s_1$ - droga w ruchu wznoszącym,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej,

$t_1$ - czas ruchu podczas wznoszenia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Czas ruchu wyznaczymy z zależności na wartość prędkości piłki. Piłka wznosi się i na maksymalnej wysokości osiąga prędkość o zerowej wartości.

$v_1=v_0-g{t}_1$

gdzie:

$v_1=0$ - wartość prędkości na maksymalnej wysokości.

Stąd:

$0=v_0-g{t}_1$

Czas wznoszenia będzie równy:

$g{t}_1=v_0$

$t_1=\frac{v_0}{g}$

Podstawiamy wyznaczoną zależność do wzoru na drogę:

$s_1=v_0\frac{v_0}{g}-\frac{1}{2}g{\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2$

$s_1=\frac{v_0^2}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}$

$s_1=\frac{v_0^2}{2g}$

Wysokość na jaką wzniesie się piłka wyznaczymy jako:

$h_1=h_0+s_1$

gdzie:

$h_1$ - wysokość maksymalna piłki nad ziemią,

$h_0$- wysokość początkowa piłki nad ziemią.

Zatem:

$h_1=h_0+\frac{v_0^2}{2g}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$h_1=1,95\mathrm{m}+\frac{{\left(5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=1,95\mathrm{m}+\frac{25\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}{19,62\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 1,95\mathrm{m}+1,27\mathrm{m}=3,22\mathrm{m}$

Po wzniesieniu się na maksymalną wysokość piłka opada ruchem jednostajnie przyspieszonym. Drogę jaką przebywa wyrazimy jako:

$s_2=\frac{1}{2}g{t}_2^2$

gdzie:

$s_2$ - droga w ruchu opadającym,

$t_2$ - czas ruchu podczas opadania.

Wiemy, że:

$s_2=h_1$

Czas opadania będzie równy:

$h_1=\frac{1}{2}g{t}_2^2$

$2h_1=g{t}_2^2$

$\frac{2h_1}{g}=t_2^2$

$t_2=\sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Wartość prędkości końcowej jaką uzyskuje piłka wyznaczymy jako:

$v_2=g{t}_2$

gdzie:

$v_2$ - wartość prędkości w momencie uderzenia o ziemię.

Stąd:

$v_2=g\sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

$v_2=\sqrt{g^2\frac{2h_1}{g}}$

$v_2=\sqrt{2h_{1}g}$

Obliczamy wartość prędkości jaką osiągnęła piłka.

$v_2=\sqrt{2\cdot 3,22\mathrm{m}\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=\sqrt{63,1764\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 7,9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$