Dane:

$I=2,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$M=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie momentu siły wprawiającego koło w ruch. W zadaniu podany mamy wykres zależności wartości momentu pędu od czasu. Zauważmy, że jest to zależność liniowa, która przecina początek układu współrzędnych. W ogólnym przypadku taką funkcję liniową przedstawiamy zależnością:

$y\left(x\right)=a\cdot x$

gdzie:

$y\left(x_{}\right)$ - wartość funkcji, 

$x$ - argument, 

$a$ - współczynnik kierunkowy prostej. 

W naszym przypadku:

$y\left(x\right)=L\left(t\right)$

$x=t$

gdzie:

$L\left(t_{}\right)$ - wartość momentu pędu zależna od czasu, 

$t$ - czas ruchu. 

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu, 

$\omega$ - wartość prędkością kątowej, z jaką porusza się ciało. 

W naszym przypadku możemy z wykresu wywnioskować, że z czasem zmienia się liniowo wartość momentu pędu. Nie może zmieniać się moment bezwładności, ponieważ to wielkość stała, charakteryzująca daną bryłę sztywną. Zatem zmianie będzie ulegała prędkość kątowa. Podobnie jak moment pędu będzie ona rosła liniowo w czasie. Z tego wynika, że koło zamachowe porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. 

Poprzez analogie do ruchu postępowego, wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością:

$\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$

gdzie:

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, 

$\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała, 

$\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje. 

W naszym przypadku zmianę szybkości kątowej możemy przedstawić jako szybkość kątową na końcu ruchu ciała (dla zerowego czasu moment pędu jest zerowy, więc i szybkość kątowa jest zerowa):

$\Delta \omega =\omega$

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa ciała na końcu ostatniej sekundy ruchu (zgodnie z wykresem 20 s).

Zmiana czasu odpowiada całkowitemu czasowi ruchu koła zamachowego przedstawionego na wykresie:

$\Delta t=t$

W takim przypadku, zgodnie z definicją przyspieszenia kątowego, otrzymamy, że szybkość kątową możemy przedstawić wzorem:

$\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\epsilon$

$\frac{\omega }{t}=\epsilon |\cdot t$

$\omega =\epsilon t$

W takim przypadku wartość momentu pędu przedstawimy zależności:

$L=I\omega$

$L=I\epsilon t$

Zatem współczynnik kierunkowy prostej z wykresu to:

$a\cdot x=y\left(x\right)$

$a\cdot t=L\left(t\right)$

$a\cdot \cancel{t}=I\epsilon \cancel{t}$

$a=I\epsilon$

Naszym zadaniem jest wyznaczenie momentu siły. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego wiemy, że:

$M=\epsilon I$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły, 

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, 

$I$ - moment bezwładności. 

W takim razie współczynnik kierunkowy prostej na wykresie odpowiada wartości momentu siły wprawiającej w ruch koło zamachowe:

$a=M$

Prawdziwa jest wówczas zależność:

$L\left(t\right)=M\cdot t$

Oznacza to, że wartość momentu siły spełnia wówczas zależność:

$M\cdot t=L\left(t\right)|:t$

$M=\frac{L\left(t\right)}{t}$

Z wykresu odczytujemy dla dowolnie wybranego argumentu (czasu) wartość funkcji (wartość momentu pędu). Na przykład:

Z wykresy wynika, że dla czasu $t=20\text{s}$ wartość momentu pędu wynosi $L\left(t\right)=200\frac{\mathrm{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}$. 

Podstawmy wielkości odczytane z wykresu do otrzymanej zależności:

$M=\frac{200\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\mathrm{s}}}{20\mathrm{s}}=10\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=10\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^{}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}=10\text{N}\cdot \text{m}$

Odpowiedź: Wartość momentu siły wprawiającej koło zamachowe w ruch wynosi 10 N⋅m.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$\omega =?$

$\epsilon =?$

Rozwiązanie: 

W tym przypadku rozważany czas wynosi:

$\Delta t=20\text{s}$

Z wykresu odczytujemy, że po tym czasie wartość momentu pędu wynosi:

$L\left(\Delta t\right)=200\frac{\mathrm{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}$

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawionej w poprzednim podpunkcie możemy wartość przyspieszenia kątowego wyrazić wzorem:

$\epsilon I=M|:I$

$\epsilon =\frac{M}{I}$

$\epsilon =\frac{\frac{L\left(\Delta t\right)}{\Delta t}}{I}$

$\epsilon =\frac{L\left(\Delta t\right)}{\Delta tI}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\epsilon =\frac{200\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}}{20\text{s}\cdot 2,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}=\frac{200\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}}{50\text{s}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2}=4\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

Korzystając z definicji przyspieszenia kątowego przedstawionej w poprzednim podpunkcie otrzymujemy, że jego wartość szybkości kątowej będzie miała postać:

$\frac{\omega }{\Delta t}=\epsilon$

$\frac{\omega }{\cancel{\Delta t}}=\frac{L\left(\Delta t\right)}{\cancel{\Delta t}I}$

$\omega =\frac{L\left(\Delta t\right)}{I}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\omega =\frac{200\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}}{2,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}=80\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia kątowego wynosi 4 rad/s². Natomiast wartość szybkości kątowej wynosi 80 rad/s.