Szukany długości równi pochyłej, po której zsuwa się skrzynia. Wykonajmy rysunek pomocniczy:
gdzie:
Fc - siła ciężkości skrzyni,
F1,F2 - składowe siły ciężkości,
Fn - siła naciągu liny,
T - siła tarcia,
FN - siła nacisku skrzyni na równię pochyłą,
FR - siła reakcji podłoża,
r - promień bębna wyciągarki,
l - długość równi pochyłej,
α - kąt nachylenia równi pochyłej do podłoża.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych, wyrażamy składowe siły ciężkości poprzez siłę ciężkości:
sinα=FcF1 , czyli: F1=Fcsinα
cosα=FcF2, czyli: F2=Fccosα
WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI
Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:
Fc=mg
gdzie:
Fc - wartość siły ciężkości,
m - masa ciała,
g - wartość przyspieszenia ziemskiego.
W naszym przypadku wartość siły ciężkości skrzyni zapisujemy za pomocą wzoru:
Fc=Mg
WARTOŚĆ SIŁY TARCIA KINETYCZNEGO
Siła tarcia kinetycznego działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem:
Tk=μkFN
gdzie:
Tk - wartość siły tarcia kinetycznego,
μk - współczynnik tarcia kinetycznego,
FN - wartość siły nacisku ciała na podłoże.
W naszym przypadku siłę tarcia skrzyni o równię pochyłą wyrazimy jako:
T=μFN
Zauważmy, że w naszym przypadku wartość siły nacisku jest równa wartości składowej prostopadłej do równi pochyłej siły ciężkości:
FN=F2
Otrzymujemy wówczas, że:
T=μF2
T=μFccosα
T=μMgcosα
Siłę naciągu nici wyznaczamy, korzystając z własności ruchu obrotowego bębna wciągarki. Bęben traktujemy jako walec, czyli jego moment bezwładności będzie wynosił:
MOMENT BEZWŁADNOŚCI - WALEC
Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:
I=21mr2
gdzie:
I - moment bezwładności walca,
m - masa walca,
r - promień walca.
Korzystamy z:
II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO
Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:
Iε=M
gdzie:
I - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,
ε - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,
M - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.
Stąd:
21mr2ε=M
Wyrażamy moment siły naciągu powodującej obracanie się bębna wyciągarki.
WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY
Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:
M=rF
gdzie:
M - wartość momentu siły bryły sztywnej,
F - wartość siły działającej na bryłę sztywną,
r - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).
W naszym przypadku:
M=rFn
Zatem:
21mr2ε=rFn∣:r
21mrε=Fn
Fn=21mrε
Skorzystamy z:
WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO
Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem:
ε=ra
gdzie:
ε - wartość przyspieszenia kątowego,
a - wartość przyspieszenia liniowego,
r - promień okręgu, po którym porusza się ciało.
Otrzymujemy:
Fn=21mrra
Fn=21ma
Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego, zapiszmy równanie sił działających na skrzynię:
Ma=F1−T−Fn
Wyznaczamy z tego równania wartość przyspieszenia liniowego skrzyni. Podstawiamy wyznaczone wcześniej zależności na wartości sił.
▶ F1=Fcsinα=Mgsinα
▶ T=μMgcosα
▶ Fn=21ma
Zatem:
Ma=Mgsinα−μMgcosα−21ma∣+21ma
Ma+21ma=Mgsinα−μMgcosα
a(M+2m)=Mg(sinα−μcosα):(M+2m)
a=M+2mMg(sinα−μcosα)
Skrzynia zaczyna się zsuwać, gdy blokada zawiodła. Długość równi pochyłej wyznaczymy, korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej.
DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM
Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru:
s=v0t+21at2
gdzie:
s - droga przebyta przez ciało,
v0 - wartość prędkości początkowej ciała,
a - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,