Dane:

$a={30}^{\circ }$  

$M=200\text{kg}$

$m=5\text{kg}$

$\mu =0,4$

$t=2\text{s}$     

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$l=\text{?}$

Rozwiązanie:

Szukany długości równi pochyłej, po której zsuwa się skrzynia. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie: 

${\vec{F}}_c$  - siła ciężkości skrzyni,

${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2$ - składowe siły ciężkości,

${\vec{F}}_n$ - siła naciągu liny,

$\vec{T}$ - siła tarcia,

${\vec{F}}_N$ - siła nacisku skrzyni na równię pochyłą,

${\vec{F}}_R$ - siła reakcji podłoża,

$r$ - promień bębna wyciągarki,

$l$ - długość równi pochyłej,

$\alpha$ - kąt nachylenia równi pochyłej do podłoża.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, wyrażamy składowe siły ciężkości poprzez siłę ciężkości:

$\sin \alpha =\frac{F_1}{F_c}$ , czyli: $F_1=F_c\sin \alpha$

$\cos \alpha =\frac{F_2}{F_c}$, czyli: $F_2=F_c\cos \alpha$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

W naszym przypadku wartość siły ciężkości skrzyni zapisujemy za pomocą wzoru:

$F_c=Mg$  

WARTOŚĆ SIŁY TARCIA KINETYCZNEGO Siła tarcia kinetycznego działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem:  $T_k={\mu }_k{F}_{\text{N}}$ gdzie: $T_k$ - wartość siły tarcia kinetycznego, ${\mu }_k$ - współczynnik tarcia kinetycznego, $F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

W naszym przypadku siłę tarcia skrzyni o równię pochyłą wyrazimy jako:

$T=\mu F_N$

Zauważmy, że w naszym przypadku wartość siły nacisku jest równa wartości składowej prostopadłej do równi pochyłej siły ciężkości:

$F_N=F_2$  

Otrzymujemy wówczas, że:

$T=\mu F_2$

$T=\mu F_c\cos \alpha$    

$T=\mu Mg\cos \alpha$    

Siłę naciągu nici wyznaczamy, korzystając z własności ruchu obrotowego bębna wciągarki. Bęben traktujemy jako walec, czyli jego moment bezwładności będzie wynosił:

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - WALEC Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać: $I=\frac{1}{2}m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności walca, $m$ - masa walca,  $r$ - promień walca.

Korzystamy z:

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy: $I\epsilon =M$ gdzie: $I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,  $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,  $M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Stąd:

$\frac{1}{2}m{r}^2\epsilon =M$

Wyrażamy moment siły naciągu powodującej obracanie się bębna wyciągarki.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem: $M=rF$ gdzie: $M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej, $F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną, $r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

W naszym przypadku:

$M=r{F}_n$

Zatem:

$\frac{1}{2}m{r}^2\epsilon =r{F}_n|:r$

$\frac{1}{2}mr\epsilon =F_n$

$F_n=\frac{1}{2}mr\epsilon$

Skorzystamy z:

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem: $\epsilon =\frac{a}{r}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego,  $a$ - wartość przyspieszenia liniowego,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Otrzymujemy:

$F_n=\frac{1}{2}m\cancel{r}\frac{a}{\cancel{r}}$

$F_n=\frac{1}{2}ma$

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego, zapiszmy równanie sił działających na skrzynię:

$Ma=F_1-T-F_n$  

Wyznaczamy z tego równania wartość przyspieszenia liniowego skrzyni. Podstawiamy wyznaczone wcześniej zależności na wartości sił.

▶ $F_1=F_c\sin \alpha =Mg\sin \alpha$

▶ $T=\mu Mg\cos \alpha$

▶ $F_n=\frac{1}{2}ma$

Zatem:

$Ma=Mg\sin \alpha -\mu Mg\cos \alpha -\frac{1}{2}ma|+\frac{1}{2}ma$

$Ma+\frac{1}{2}ma=Mg\sin \alpha -\mu Mg\cos \alpha$

$a\left(M+\frac{m}{2}\right)=Mg\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right):\left(M+\frac{m}{2}\right)$

$a=\frac{Mg\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{M+\frac{m}{2}}$

Skrzynia zaczyna się zsuwać, gdy blokada zawiodła. Długość równi pochyłej wyznaczymy, korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej.

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga przebyta przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

Zatem:

$l=\frac{1}{2}a{t}^2$

Wówczas długość równi pochyłej wyrazimy wzorem:

$l=\frac{1}{2}a{t}^2$

$l=\frac{1}{2}\frac{Mg\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{M+\frac{m}{2}}{t}^2$

$l=\frac{1}{2}\frac{Mg{t}^2\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{\frac{1}{2}\left(2M+m\right)}$

$l=\frac{1}{2}\cdot 2\frac{Mg{t}^2\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{2M+m}$

$l=\frac{Mg{t}^2\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)}{2M+m}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l=\frac{200\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2\text{s}\right)}^2\cdot \left(\sin {30}^{\circ }-0,4\cdot \cos {30}^{\circ }\right)}{2\cdot 200\text{kg}+5\text{kg}}=$

$=\frac{200\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{s}}^2\cdot \left(0,5-0,4\cdot 0,866\right)}{400\text{kg}+5\text{kg}}=$

$=\frac{7848\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \left(0,5-0,3464\right)}{405\text{kg}}=\frac{7848\text{kg}\cdot \text{m}\cdot 0,1536}{405\text{kg}}=$

$=\frac{1205,4528\text{kg}\cdot \text{m}}{405\text{kg}}\approx 2,97642667\text{m}\approx 3\text{m}$