Kotwica o masie M = 9 kg podnoszona jest za pomocą...- Zadanie 6.5.11.: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$M = 9 kg$

$m = 2 kg$

$R = 5, 5 cm = 0, 055 m$

$V = 0, 007 m^{3} = 7 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

$d = 10^{3} \frac{kg}{m ^{3}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Szukane:

$a = ?$

$F_{n} = ?$

Rozwiązanie:

Chcemy wyznaczyć wartość przyspieszenia, z jakim opada kotwica i wartość naciągu liny przyczepionej do kotwicy. Wykonujemy rysunek pomocniczy.

gdzie:

$F_{c}$ - siła ciężkości kotwicy,

$F_{n}$ - siła naciągu liny,

$F_{A}$ - siła wyporu działająca na kotwicę w wodzie,

$M$ - masa kotwicy,

$m$ - masa bloczka wyciągarki,

$R$ - promień bloczka wyciągarki.

Zapisujemy równanie wynikające z II zasady dynamiki dla opadającej kotwicy:

$F_{w} = F_{g} - F_{n} - F_{A}$

gdzie:

$F_{w}$ - wartość siły wypadkowej,

$F_{g}$ - wartość siły ciężkości ciężarka,

$F_{n}$ - wartość siły naciągu liny.

$F_{A}$ - wartość siły wyporu.

Wyznaczamy zależność na wartość siły nacisku:

$F_{w} = F_{g} - F_{n} - F_{A} ∣ + F_{n} - F_{w}$

$F_{n} = F_{g} - F_{w} - F_{A}$

Korzystamy z:

II ZASADA DYNAMIKI

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{w} = m a$

gdzie:

$F_{w}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

W naszym przypadku:

$F_{w} = M a$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia kotwicy.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Przyjmujemy oznaczenia z naszego zadania:

$F_{c} = M g$

SIŁA WYPORU

Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_{A} = d g V$

gdzie:

$F_{A}$ - wartość siły wyporu,

$d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie.

Wracamy do równania II zasady dynamiki dla kotwicy:

$F_{n} = F_{g} - F_{w} - F_{A}$

$F_{n} = M g - M a - d g V$

Teraz rozpatrujemy obrót bloczka wyciągarki. Zapisujemy równanie wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I ε = M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Dla wyciągarki zapiszemy:

$M_{w} = I ε$

gdzie:

$M_{w}$ - moment siły działający na bloczek wyciągarki.

Jednocześnie możemy zapisać wartość momentu siły działającego na bloczek.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

W naszym przypadku zapisujemy:

$M_{w} = R F_{n}$

Stąd:

$I ε = R F_{n}$

Podstawiamy za siłę naciągu wyprowadzoną wcześniej zależność:

$F_{n} = M g - M a - d g V$

Otrzymujemy:

$I ε = R (M g - M a - d g V)$

Wiemy, że obracany bloczek wyciągarki ma kształt walca.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - WALEC

Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I = \frac{1}{2} m r^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca,

$m$ - masa walca,

$r$ - promień walca.

Przyjmujemy nasze oznaczenia:

$I = \frac{1}{2} m R^{2}$

Stąd:

$\frac{1}{2} m R^{2} ε = R (M g - M a - d g V)$

Wyrażamy przyspieszenie kątowe jako liniowe.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO

Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem:

$ε = \frac{a}{r}$

gdzie:

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego,

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Zapiszemy:

$ε = \frac{a}{R}$

Otrzymujemy:

$\frac{1}{2} m R^{2} \frac{a}{R} = R (M g - M a - d g V)$

$\frac{1}{2} m R a = R (M g - M a - d g V) ∣ : R$

Wyznaczamy zależność na wartość przyspieszenia liniowego kotwicy.

$\frac{1}{2} m a = M g - M a - d g V ∣ + M a$

$\frac{1}{2} m a + M a = M g - d g V$

$a (\frac{1}{2} m + M) = g (M - d V) ∣ : (\frac{1}{2} m + M)$

$a = g \frac{M - d V}{\frac{1}{2} m + M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wyznaczonego wzoru:

$a = 10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot \frac{9 kg - 1 0 ^{3} \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 7 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3}}{\frac{1}{2} \cdot 2 kg + 9 kg} = 10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot \frac{9 kg - 7 kg}{1 kg + 9 kg} = 10^{1} \frac{m}{s ^{2}} \cdot \frac{2 kg}{10 ^{1} kg} = 2 \frac{m}{s ^{2}}$

Wyznaczamy wartość siły naciągu liny, korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru:

$F_{n} = M g - M a - d g V$

Podstawiamy dane liczbowe:

$F_{n} = 9 kg \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} - 9 kg \cdot 2 \frac{m}{s ^{2}} - 1 0^{3} \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 7 \cdot 1 0^{- 3} m^{3} = 90 N - 18 N - 70 N = 2 N$