Dane:

$l=45\text{cm }=0,45\text{m}$  

$v_0=120\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_k=\frac{1}{3}{v}_0$  

$m=1\text{g }=0,001\text{kg}$  

$M=40\text{g }=0,04\text{kg}$  

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$\mu =0,3$  

 

$a)$  

Szukane:

$v=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości pudełka po przejściu przez niego śrutu. Skorzystajmy z zasady zachowania pędu. Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Początkowo pocisk porusza się z szybkością $v_0$  w stronę pudełka, które jest nieruchome. Zatem współrzędne pędów pocisku i pudełka będą miały postać:

$p_{\text{poc.0}}=m{v}_0$  

gdzie:

$p_{poc.0}$ - początkowa wartość pędu pocisku,

$m$ - masa pocisku,

$v_0$ - początkowa wartość prędkości pocisku,

$p_{\text{pud.0}}=0$  

gdzie:

$p_{pud.0}$ - wartość początkowa pędu pudełka.

Następnie pocisk przechodzi przez pudełko i powoduje, że pudełko zaczyna poruszać się w tę samą stronę co pocisk. Zatem pędu pocisku i pudełka po przejściu przez pudełko pocisku będą miały postać:

$p_{\text{poc.1}}=m{v}_k$  

gdzie:

$p_{poc.1}$ - końcowa wartość pędu pocisku,

$v_k$ - końcowa wartość prędkości pocisku.

$p_{\text{pud.1}}=Mv$  

gdzie:

$p_{pud.1}$ - końcowa wartość pędu pudełka,

$v$ - końcowa wartość prędkości pudełka.

Korzystając z zasady zachowania pędu wyznaczamy szybkość pudełka po przejściu przez niego pocisku:

$p_{\text{poc.1 }}+p_{\text{pud.1}}=p_{\text{poc.0}}+p_{\text{pud.0}}$  

$m{v}_k+Mv=m{v}_0+0$  

$\frac{1}{3}m{v}_0+Mv=m{v}_0\mid -\frac{1}{3}m{v}_0$  

$Mv=\frac{2}{3}m{v}_0\mid :M$  

$v=\frac{2}{3}\frac{m}{M}{v}_0$  

$v=\frac{2m{v}_0}{3M}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{2\cdot 0,001\text{kg }\cdot 120\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3\cdot 0,04\text{kg}}=$  

$=\frac{0,24\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,12\cancel{\text{kg}}}=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Po przejściu pocisku pudełko poruszało się z szybkością $2\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

 

$b)$  

Szukane:

$s=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie, na jaką odległość przemieści się pudełko, oraz określenie, czy spadnie z podestu. Pudełko po przejściu pocisku posiada pewną szybkość, czyli i energię kinetyczną. Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Siła tarcia wykona pracę, która będzie wyhamowywała pudełko na stole na pewnej drodze $s$⁣:

$W=Ts$  

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez siłę tarcia,

$T$ - wartość siły tarcia,

$s$ - droga hamowania pudełka.

Siłę tarcia możemy przedstawić jako iloczyn współczynnika tarcia $\mu$  i siły nacisku, która w tym przypadku równoważna jest ciężarowi pudełka:

$T=\mu F_g$  

gdzie:

$\mu$ - współczynnik tarcia,

$F_g$ - wartość siły ciężkości.

$T=\mu Mg$  

gdzie:

$M$ - masa pudełka,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Praca zostaje wykonana przy wyhamowywaniu pudełka, czyli przy zmianie energii kinetycznej tego pudełka. Zatem droga, jaką potrzebuje przebyć pudełko do zatrzymania wynosi:

$W=E_k$  

$Ts=\frac{1}{2}M{v}^2\mid :T$  

$s=\frac{M{v}^2}{2T}$  

$s=\frac{M{v}^2}{2\mu Mg}$  

$s=\frac{v^2}{2\mu g}$  

$s=\frac{{\left(\frac{2m{v}_0}{3M}\right)}^2}{2\mu g}$  

$s=\frac{\frac{4m^2{v}_0^2}{9M^2}}{2\mu g}$  

$s=\frac{2m^2{v}_0^2}{9M^2\mu g}$  

$s=\frac{2}{9}{\left(\frac{m}{M}\right)}^2\frac{v_0^2}{\mu g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$s=\frac{2}{9}\cdot {\left(\frac{0,001\text{kg}}{0,04\text{kg}}\right)}^2\cdot \frac{{\left(120\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{0,3\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{2}{9}\cdot {\left(0,025\right)}^2\cdot \frac{14400\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{2,943\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\approx$  

$\approx 0,222\cdot 0,000625\cdot 4892,966\text{m }\approx$  

$\approx 0,678899\text{m }\approx 0,68\text{m }=68\text{cm}$  

Odpowiedź: Pudełko, aby wyhamować, musi pokonać drogę równą około $68\text{cm}$. Jest to więcej niż jego odległość od brzegu podestu, zatem spadnie ono ze stołu.

 

$c)$  

Szukane:

$\mu =?$  

Rozwiązanie:

Teraz pytamy, jaki musiałby być współczynnik tarcia, aby pudełko nie spadło z podestu. Zatem musiałoby ono przebyć drogę mniejszą lub przynajmniej równą jego odległości od brzegu:

$l\ge s$

gdzie:

$l$ - długość podestu. 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$s=\frac{2}{9}{\left(\frac{m}{M}\right)}^2\frac{v_0^2}{\mu g}$  

Zatem współczynnik tarcia musiałby spełniać nierówność:

$l\ge \frac{2}{9}{\left(\frac{m}{M}\right)}^2\frac{v_0^2}{\mu g}\mid \cdot \mu$  

$l\mu \ge \frac{2}{9}{\left(\frac{m}{M}\right)}^2\frac{v_0^2}{g}\mid :l$  

$\mu \ge \frac{2}{9}{\left(\frac{m}{M}\right)}^2\frac{v_0^2}{gl}$  

Podstawmy dane liczbowe:

$\mu \ge \frac{2}{9}\cdot {\left(\frac{0,001\text{kg}}{0,04\text{kg}}\right)}^2\cdot \frac{{\left(120\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,45\text{m}}$  

$\mu \ge 0,222\cdot {\left(0,025\right)}^2\cdot \frac{14400\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{4,4145\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$  

$\mu \ge 0,222\cdot 0,000625\cdot 3171,367$  

$\mu \ge 0,4400276$  

Odpowiedź: Wartość współczynnika tarcia musiałaby być przynajmniej większa od $0,45$, aby być pewnym, że pudełko nie spadnie z podestu.