Dane:

$F_1=F_2=400\text{N}$

${\alpha }_1=30^{\circ }$

${\alpha }_2=45^{\circ }$

$s=100\text{m}$

Szukane:

$W_1,W_2=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie prac, jakie wykonali robotnicy przy pchaniu wagonika.

Pracę wykonaną przez poruszające się ciało przedstawiamy zależnością:

$W=\vec{F}\circ \vec{r}$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez ciało, 

$\vec{F}$ - siła działająca na ciało powodująca jego przesunięcie, 

$\vec{r}$ - wektor przesunięcia ciała, na które działa siła.

Mamy tutaj do czynienia z iloczynem skalarnym wektorów, czyli bierzemy pod uwagę kosinus kąta pomiędzy wektorem siły i wektorem przesunięcia:

$W=Fr\cos \left(\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)\right)$

gdzie:

$F$ - wartość siły działające na ciało, 

$r$ - wartość wektora przesunięcia, 

$\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)$ - kąt pomiędzy wektorem siły, a przemieszczenia.

Obliczmy teraz pracę pierwszego robotnika:

Wzór na tą pracę ma postać:

$W_1=F_1\cdot s\cdot \cos {\alpha }_1$

gdzie:

$W_1$ - praca wykonana przez pierwszego robotnika,

$F_1$ - siła przyłożona przez pierwszego robotnika,

$s$ - droga przebyta przez wagonika, który pchał robotnik,

${\alpha }_1$ - kąt pomiędzy wektorami siły ${\vec{F}}_1$ i przemieszczenia $\vec{s}$.

Natomiast dla drugiego robotnika wzór na przebytą pracę ma postać:

$W_2=F_2\cdot s\cdot \cos {\alpha }_2$

gdzie:

$W_2$ - praca wykonana przez drugiego robotnika,

$F_2$ - siłą przyłożona do drugiego robotnika,

${\alpha }_2$ - kąt pomiędzy wektorami siły $\overrightarrow{F_2}$ i przemieszczenia $\vec{s}$.

Teraz wstawiamy wartości do wzoru i otrzymujemy:

🔷 Praca wykonana przez pierwszego robotnika:

$W_1=F_1\cdot s\cdot \cos {\alpha }_1$

$W_1=400\text{N}\cdot 100\text{m}\cdot \cos 30^{\circ }$

$W_1=400\text{N}\cdot \stackrel{50}{\cancel{100}}\text{m}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\underset{1}{\cancel{2}}}$

$W_1=20000\cdot \sqrt{3}\text{J}$

$W_1\approx 34641\text{J}$

 

🔷 Praca wykonana przez drugiego robotnika:

$W_2=F_2\cdot s\cdot \cos {\alpha }_2$

$W_2=400\text{N}\cdot 100\text{m}\cdot \cos 45^{\circ }$

$W_2=400\text{N}\cdot \stackrel{50}{\cancel{100}}\text{m}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\underset{1}{\cancel{2}}}$

$W_1=20000\cdot \sqrt{2}\text{J}$

$W_2\approx 28284\text{J}$

 

Odpowiedź: Praca wykonana przez pierwszego robotnika wynosiła $34641\text{J}$. Natomiast praca wykonana przez drugiego robotnika wynosiła $28284\text{J}$.