Dane:

$v_s=25\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_c=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$l_c=10\text{m}$  

$l_s=5\text{m}$  

$d=10\text{m}$

 

$\mathrm{4.1.}$  

1. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ możemy zauważyć, że droga przebyta przez samochód A ma długość:

$s_A=l_c+s_c+d+l_s$ 

gdzie:

$s_A$ - droga przebyta przez samochód osobowy A, 

$l_c$ - długość ciężarówki,

$s_c$ - droga przebyta przez ciężarówkę,

 $d$ - odległość na rysunku (w sytuacji końcowej) pomiędzy tyłem samochodu A, a przodem ciężarówki, 

$l_s$ - długość samochodu osobowego A. 

Pojazdy poruszają się ruchem jednostajnym. Dlatego droga przebyta przez samochód A będzie miała postać:

$s_A=v_{s}t$

gdzie:

$v_s$ - wartość prędkości samochodu osobowego, 

$t$ - czas ruchu samochodu osobowego. 

W tym samym czasie ciężarówka pokona drogę:

$s_c=v_{c}t$

gdzie:

$v_c$ - wartość prędkości ciężarówki. 

Zatem czas ruchu samochodu A wynosi (a zarazem wszystkich pozostałych pojazdów):

$s_A=l_c+s_c+d+l_s$

$v_{s}t=l_c+v_{c}t+d+l_s|-v_{c}t$

$v_{s}t-v_{c}t=l_c+d+l_s$

$\left(v_s-v_c\right)t=l_c+d+l_s|:\left(v_s-v_c\right)$

$t=\frac{l_c+l_s+d}{v_s-v_c}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{10\text{m}+5\text{m}+10\text{m}}{25\frac{\text{m}}{\text{s}}-20\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$

$=\frac{25\cancel{\text{m}}}{5\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=5\text{s}$

Czas w jakim samochód A zmienił swoje położenie wynosił 5 s, a nie 4 s.

2. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ znamy już czas ruchu pojazdów oraz wiemy, z jaką szybkością porusza się ciężarówka. Zatem:

$s_c=v_{c}t$

$s_c=20\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 5\cancel{\text{s}}=100\text{m}$

3. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ skoro samochód B porusza się z taka samą szybkością, jak samochód A to w tym samym czasie samochody te pokonują takie same drogi:

$s_B=s_A$  

Zatem:

$s_B=l_c+s_c+d+l_s$  

$s_B=10\text{m}+100\text{m}+10\text{m}+5\text{m}=125\text{m}$

 

$\mathrm{4.2.}$  

Bezpieczny czas do spotkania to:

$t=5\text{s}$  

Zauważmy, że wartość prędkości względnej samochodów osobowych wynosi:

$v_{\text{wzg}}=v_s+v_s$  

gdzie:

$v_{\text{wzg}}$ - wartość prędkości jednego samochodu względem drugiego,

$v_s$ - wartość prędkości samochodu osobowego. 

$v_{\text{wzg}}=2v_s$  

Wówczas odległość $y$  między samochodami podczas wyprzedzania możemy przedstawić jako:

$y=v_{\text{wzg}}t$  

$y=2v_{s}t$  

Z rysunku wynika, że:

$x=s_B+y+s_A$  

Ponieważ:

$s_A=s_B=s=125\text{m}$  

To:

$x=s+y+s$  

$x=y+2s$  

$x=2v_{s}t+2s$  

$x=2\cdot 25\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 5\text{s}+2\cdot 125\text{m}$  

$x=250\text{m}+250\text{m}$  

$x=500\text{m}$  

 

$\text{4.3.}$  

Dane:

$s=3\mathrm{km}$

$s_1=300\text{m}=0,3\text{km}$  

$v_{\acute{s}r}=50\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

$v_1=70\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

Szukane:

$v_2=?$  

Rozwiązanie:

Wartość prędkości wyrażamy jako:

$v=\frac{s}{t}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości,

$s$ - droga,

$t$ - czas ruchu.

Maksymalna dozwolona prędkość odpowiada wartości prędkości średniej, czyli jest iloczynem całkowitej drogi przebytej przez pojazd do całkowitego czasu ruchu na każdym z odcinków:

$v_{\acute{s}r}=\frac{s_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}$  

gdzie:

$v_{\text{sˊr}}$ - wartość prędkości średniej,

$s_{\text{c}}$  - całkowita droga przebyta przez pojazd.

$t_{\text{c}}$  - całkowity czas ruchu.

Całkowity czas ruchu wyrazimy jako:

$t_{\text{c}}=t_1+t_2$

gdzie:

$t_1$ - czas ruchu na pierwszym etapie drogi,

$t_2$ - czas ruchu na drugim etapie drogi.

Całkowitą drogę wyrazimy jako:

$s_c=s_1+s_2$

gdzie:

$s_1$ - droga na pierwszym etapie ruchu,

$s_2$ - droga na drugim etapie ruchu.

Czasy ruchu na poszczególnych odcinkach możemy przedstawić jako:

$v_1=\frac{s_1}{t_1}$

$t_1=\frac{s_1}{v_1}$  

oraz

$v_2=\frac{s_2}{t_2}$

$t_2=\frac{s_2}{v_2}$  

Oznacza to, że średnia wartość prędkości pana Michała będzie równa:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s_c}{t_c}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s_c}{t_1+t_2}$  

Wprowadzamy wyznaczone wzory na czasy ruchu w poszczególnych odcinkach:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}|\cdot \left(\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}\right)$  

Wyznaczamy wartość prędkości na drugim etapie ruchu.

$v_{\text{sˊr}}\left(\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}\right)=s$

$\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1+\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_2}{s}_2=s|\cdot v_2$

$v_2\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1+v_{\text{sˊr}}{s}_2=v_{2}s|-v_2\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1$

$v_{\text{sˊr}}{s}_2=v_{2}s-v_2\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1$

$v_{\text{sˊr}}{s}_2=v_2\left(s-\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1\right)|:s-\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1$ 

 $\frac{v_{\text{sˊr}}{s}_2}{s-\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1}=v_2$

Wyznaczamy długość drogi na drugim etapie.

$s=s_1+s_2$

$s_2=s-s_1$

Zatem:

$v_2=\frac{v_{\text{sˊr}}{s}_2}{s-\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1}$

$v_2=\frac{v_{\text{sˊr}}\left(s-s_1\right)}{s-\frac{v_{\text{sˊr}}}{v_1}{s}_1}$

 Obliczamy wartość prędkości z jaką musi jechać kierowca.

$v_2=\frac{50\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot \left(3\mathrm{km}-0,3\mathrm{km}\right)}{3\mathrm{km}-\frac{50\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}{70\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\cdot 0,3\mathrm{km}}=\frac{50\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot 2,7\mathrm{km}}{3\mathrm{km}-\frac{5}{7}\cdot 0,3\mathrm{km}}\approx \frac{135\frac{\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{\cancel{2}}}{\mathrm{h}}}{\left(3-0,214\right)\cancel{\mathrm{km}}}=$

$=\frac{135}{2,786}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\approx 48\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Odpowiedź: Pan Michał może pokonać tę trasę z maksymalną stałą wartością prędkości około $48\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.