Dane:

$t_1=0,36\text{s}$  

$t_2=1,08\text{s}$  

$l=12\text{m}$  

 

$\text{1.1.}$  

Pierwszy samochód ciężarowy mija kierowcę wywrotki pokonując drogę $l$  w czasie $t_1$ . Zatem jego wartość prędkości względem wywrotki ma postać:

$v_{\text{wzg.1}}=\frac{l}{t_1}$  

gdzie:

$v_{\text{wzg.1}}$ - wartość prędkości względnej pierwszego samochodu,

$l$ - długość samochodu ciężarowego,

$t_1$ - czas mijania wywrotki przez pierwszy samochód.

Drugi samochód ciężarowy wyprzedza kierowcę wywrotki pokonując drogę $l$  w czasie $t_2$ . Zatem jego wartość prędkości względem wywrotki ma postać:

$v_{\text{wzg.2}}=\frac{l}{t_2}$  

gdzie:

$v_{\text{wzg.2}}$ - wartość prędkości względnej drugiego samochodu,

$l$ - długość samochodu ciężarowego,

$t_2$ - czas mijania wywrotki przez drugi samochód.

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$v_{\text{wzg.1}}=\frac{12\text{m}}{0,36\text{s}}=\frac{12\cdot 0,001\text{km}}{0,36\cdot \frac{1}{3600}\text{h}}=$  

$=\frac{0,012\text{km}}{0,0001\text{h}}=120\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

$v_{\text{wzg.2}}=\frac{12\text{m}}{1,08\text{s}}=\frac{12\cdot 0,001\text{km}}{1,08\cdot \frac{1}{3600}\text{h}}=$  

$=\frac{0,012\text{km}}{0,0003\text{h}}=40\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

 

$\text{1.2.}$  

Wartość prędkości względnej pierwszej ciężarówki do wywrotki ma postać:

$v_{\text{wzg.1}}=v_{c1}+v_w$  

gdzie:

$v_{\text{c1}}$ - wartość prędkości pierwszej ciężarówki względem jezdni,

$v_w$ - wartość prędkości wywrotki względem jezdni.

Natomiast wartość prędkości względnej drugiej ciężarówki do wywrotki ma postać:

$v_{\text{wzg.2}}=v_{c2}-v_w$  

gdzie:

$v_{\text{c2}}$ - wartość prędkości drugiej ciężarówki względem jezdni,

Wiemy, że ciężarówki poruszały się z takimi samymi prędkościami, czyli:

$v_{\text{wzg.1}}=v_c+v_w$  

$v_{\text{wzg.2}}=v_c-v_w$  

Z tego wynika, że:

$v_c+v_w=v_{\text{wzg.1}}⟶v_c=v_{\text{wzg.1}}-v_w$  

$v_c-v_w=v_{\text{wzg.2}}⟶v_c=v_{\text{wzg.2}}+v_w$  

Porównując oba wzoru otrzymujemy, że wartość prędkości wywrotki ma postać:

$v_{\text{wzg.2}}+v_w=v_{\text{wzg.1}}-v_w\mid +v_w-v_{\text{wzg.2}}$  

$2v_w=v_{\text{wzg.1}}-v_{\text{wzg.2}}\mid :2$  

$v_w=\frac{v_{\text{wzg.1}}-v_{\text{wzg.2}}}{2}$  

Zatem wartość prędkości ciężarówki będzie miała postać:

$v_c=v_{\text{wzg.1}}-v_w$  

$v_c=v_{\text{wzg.1}}-\frac{v_{\text{wzg.1}}-v_{\text{wzg.2}}}{2}$  

$v_c=\frac{2v_{\text{wzg.1}}}{2}-\frac{v_{\text{wzg.1}}}{2}+\frac{v_{\text{wzg.2}}}{2}$  

$v_c=\frac{v_{\text{wzg.1}}}{2}+\frac{v_{\text{wzg.2}}}{2}$  

$v_c=\frac{v_{\text{wzg.1}}+v_{\text{wzg.2}}}{2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$v_w=\frac{120\frac{\text{km}}{\text{h}}-40\frac{\text{km}}{\text{h}}}{2}=\frac{80\frac{\text{km}}{\text{h}}}{2}=40\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

$v_c=\frac{120\frac{\text{km}}{\text{h}}+40\frac{\text{km}}{\text{h}}}{2}=\frac{160\frac{\text{km}}{\text{h}}}{2}=80\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

 

$\text{1.3.}$  

Czas wyprzedzania wywrotki przez drugą ciężarówkę wynosi:

$t_3=0,72\text{s}$  

Wiemy, że prędkość względna wówczas wynosi:

$v_{\text{wzg.2}}=\frac{l}{t_2}$  

Z tego wynika, że długość wywrotki ma postać:

$l_w=v_{\text{wzg.2}}\cdot t_3$  

gdzie:

$l_w$ - długość wywrotki,

$t_3$ - czas wyprzedzania.

$l_w=\frac{l}{t_2}\cdot t_3$  

$l_w=\frac{t_3}{t_2}l$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l_w=\frac{0,72\text{s}}{1,08\text{s}}\cdot 12\text{m}=\frac{2}{3}\cdot 12\text{m}=2\cdot 4\text{m}=8\text{m}$  

 

$\text{1.4.}$  

Całkowity czas mijania będzie czasem jaki potrzebuje pierwsza ciężarówka, aby pokonać drogę równą sumie długości ciężarówki i wywrotki poruszając się z prędkością względną  $v_{\text{wzg.1}}$ . Zatem:

$s=l+l_w$  

Otrzymujemy, że czas mijania wywrotki wynosi:

$t_m=\frac{s}{v_{\text{wzg.1}}}$  

$t_m=\frac{l+l_w}{\frac{l}{t_1}}$  

$t_m=\frac{l+l_w}{l}{t}_1$  

$t_m=\frac{l+\frac{t_3}{t_2}l}{l}{t}_1$  

$t_m=\frac{\left(1+\frac{t_3}{t_2}\right)l}{l}{t}_1$  

$t_m=\left(1+\frac{t_3}{t_2}\right)t_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_m=\left(1+\frac{0,72\text{s}}{1,08\text{s}}\right)\cdot 0,36\text{s}=\left(1+\frac{2}{3}\right)\cdot 0,36\text{s}=\frac{5}{3}\cdot 0,36\text{s}=$  

$=5\cdot 0,12\text{s}=0,6\text{s}$  

Całkowity czas wyprzedzania będzie czasem jaki potrzebuje druga ciężarówka, aby pokonać drogę równą dumie długości ciężarówki i wywrotki poruszając się z prędkością względną  $v_{\text{wzg.2}}$ . Zatem:

$t_w=\frac{s}{v_{\text{wzg.2}}}$  

$t_w=\frac{l+l_w}{\frac{l}{t_2}}$  

$t_w=\frac{l+\frac{t_3}{t_2}l}{l}{t}_2$  

$t_w=\left(1+\frac{t_3}{t_2}\right)t_2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_m=\left(1+\frac{0,72\text{s}}{1,08\text{s}}\right)\cdot 1,08\text{s}=\left(1+\frac{2}{3}\right)\cdot 1,08\text{s}=\frac{5}{3}\cdot 1,08\text{s}=$  

$=5\cdot 0,36\text{s}=1,8\text{s}$  

 

$\text{1.5.}$  

Ciężarówka wyprzedza wywrotkę w czasie $t_w$  z prędkością o wartości $v_c$ . Oznacza to, że:

$s=v_c{t}_w$  

$s=\frac{\frac{l}{t_1}+\frac{l}{t_2}}{2}\left(1+\frac{t_3}{t_2}\right)t_2$  

$s=\frac{\frac{l}{t_1{t}_2}\left(t_2+t_1\right)}{2}\left(1+\frac{t_3}{t_2}\right)t_2$  

$s=\frac{l\left(t_2+t_1\right)}{2t_1{t}_2}\frac{1}{t_2}\left(t_2+t_3\right)t_2$  

$s=l\frac{\left(t_1+t_2\right)\left(t_2+t_3\right)}{2t_1{t}_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$s=12\mathrm{m}\cdot \frac{\left(0,36\mathrm{s}+1,08\mathrm{s}\right)\cdot \left(1,08\mathrm{s}+0,72\mathrm{s}\right)}{2\cdot 0,36\mathrm{s}\cdot 1,08\mathrm{s}}=12\mathrm{m}\cdot \frac{1,44\mathrm{s}\cdot 1,8\mathrm{s}}{0,7776\mathrm{s}}=12\mathrm{m}\cdot \frac{2,592\cancel{\mathrm{s}}}{0,7776\cancel{\mathrm{s}}}=$

$=40\mathrm{m}$