Dane:

$v=5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$h=\text{?}$

Rozwiązanie:

$\mathbf{a})$

Naszym celem jest wyznaczenie wysokości, na jaką wzniesie się kamień podrzucony do góry (korzystamy z zasad dynamiki). Kamień porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym. Wysokość, na jaką się wzniesie, będzie równa drodze, jaką przebył w górę.

$h=vt-\frac{1}{2}g{t}^2$

gdzie:

$h$ - droga w ruchu w górę,

$v$ - wartość prędkości początkowej,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego

$t$ - czas ruchu w górę.

Wartość końcową prędkości kamienia wyrazimy jako:

$v_k=v-gt$

gdzie:

$v_{\text{k}}$ - wartość końcowa prędkości kamienia.

Na maksymalnej wysokości wartość prędkości kamienia osiąga wartość zero. Zatem:

$v_k=0$

$0=v-gt$

$v=gt$

$t=\frac{v}{g}$

Podstawiamy wyznaczoną zależność na czas ruchu do wzoru na drogę.

$h=vt-\frac{1}{2}g{t}^2$

$h=v\frac{v}{g}-\frac{1}{2}g{\left(\frac{v}{g}\right)}^2$

$h=\frac{v^2}{g}-\frac{1}{2}g\frac{v^2}{g^2}$

$h=\frac{v^2}{g}-\frac{1}{2}\frac{v^2}{g}$

$h=\frac{v^2}{2g}$

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$h=\frac{{\left(5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{25\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}{19,62\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 1,3\mathrm{m}$

 

$\mathbf{b})$

Naszym celem jest wyznaczenie wysokości, na jaką wzniesie się kamień podrzucony do góry (korzystamy z zasady zachowania energii). Początkowo kamień posiada tylko energię kinetyczną, a końcowo tylko energię potencjalną.

Korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej.

$E_p=E_k$

gdzie:

$E_k$ - początkowa energia kinetyczna,

$E_p$ - końcowa energia potencjalna.

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Zatem:

$\cancel{m}gh=\frac{\cancel{m}{v}^2}{2}$

$gh=\frac{v^2}{2}$

Wyznaczamy zależność na wysokość:

$h=\frac{v^2}{2g}$

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$h=\frac{{\left(5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{25\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}{19,62\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 1,3\mathrm{m}$

 

Odpowiedź: Kamień wzniesie się na wysokość $1,3\mathrm{m}$.