Dane:

$l=1\mathrm{m}$

$\alpha =30^{\circ }$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$v=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie maksymalnej wartości prędkości kulki zawieszonej na nici i poruszającej się po łuku. Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Kulka po odchyleniu będzie posiadała pewną energię potencjalną — będziemy ja wyznaczać względem poziomu, na którym znajduje się kulka zawieszona swobodnie na nici. Kiedy kulka będzie przechodzić przez to najniższe położenie, będzie miała prędkość o maksymalnej wartości i maksymalną energię kinetyczną oraz zerwą energię potencjalną.

Z zasady zachowania energii mechanicznej zapisujemy:

$E_p=E_k$

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna w najwyższym położeniu,

$E_k$ - energia kinetyczna w najniższym położeniu.

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Zatem:

$\cancel{m}gh=\frac{\cancel{m}{v}^2}{2}$

$gh=\frac{v^2}{2}$

Wyznaczamy zależność na wartość prędkości.

$v^2=2gh$

$v=\sqrt{2gh}$

Korzystając, z rysunku możemy zapisać:

$h+x=l$

$h=l-x$

Wiemy, o jaki kąt została odchylona kulka, stąd:

$\cos \alpha =\frac{x}{l}$

$x=l\cos \alpha$

Zatem:

$h=l-l\cos \alpha$

$h=l\left(1-\cos \alpha \right)$

Wracamy do zależności na wartość prędkości:

$v=\sqrt{2gh}$

$v=\sqrt{2gl\left(1-\cos \alpha \right)}$

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$v=\sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1\mathrm{m}\cdot \left(1-\cos 30^{\circ }\right)}=\sqrt{19,62\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\approx$

$\approx \sqrt{19,62\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \left(1-0,866\right)}=\sqrt{19,62\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,134}=\sqrt{2,62908\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 1,62\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Kulka będzie się poruszać z prędkością o wartości $1,62\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.