Dane:

$F=244\mathrm{N}$

$F_N=218\mathrm{N}$

$m=20\mathrm{kg}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

${\eta }_u=\text{?}$  

${\eta }_A=\text{?}$  

${\eta }_B=\text{?}$  

Rozwiązanie:

W zadaniu mamy przedstawione dwa bloczki, które zostały użyte do podniesienia ciała o masie 20 kg, którego siła ciężkości to ${\vec{F}}_c$.

Wiemy, że wzór na wartość siły ciężkości przyjmuję postać:

$F_c=mg$

gdzie:

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Aby podnieść to ciało użyto siły $\vec{F}$. Zanim przejdziemy do obliczania poszczególnych sprawności zaznaczmy wszystkie możliwe siły działające na układ klocków z liną:

Oznaczone na rysunku siły ${\vec{F}}_N$ o danym indeksie (1, 2 lub 3) są odpowiednio siłami naciągu nici na danym zakresie. Na razie zaznaczamy, że każda z tych sił ma różną wartość:

$F_{N_1}\ne F_{N_2}\ne F_{N_3}$

Zauważmy jednak, że zgodnie z treścią zadania znamy wartość siły ${\vec{F}}_{N_2}$, którą możemy oznaczyć jako ${\vec{F}}_N$:

Warto zaznaczyć, że znamy wartość sił $\vec{F}$, ${\vec{F}}_N$ oraz ${\vec{F}}_c$, którą możemy wyznaczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$

Możemy teraz skupić się na wyznaczeniu sprawności każdego z bloku oraz całego układu przyjmując, że wzór na sprawność maszyny przyjmuję postać:

$\eta =\frac{E_{\text{uzys}}}{E_{\text{pobr}}}$

gdzie:

$\eta$ - sprawność,

$E_{\text{uzys}}$ - energia uzyskana przez urządzenie,

$E_{\text{pobr}}$ - energia pobrana z zewnątrz.

 Sprawność całkowita układu: 

Całkowita energia pobierana jest przez układ dzięki sile $\vec{F}$, z jaką układ jest ciągnięty. Zatem całkowita energia pobrana przez cały układ odpowiada pracy $W$ wykonanej przez tą siłę. Pracę wykonaną przy przemieszczaniu ciała przy pomocy siły o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem przemieszczenia tego ciała wyrażamy jako:

$W=Fs$

gdzie:

$W$ - wykonana praca,

$F$ - wartość siły przyłożonej do ciała,

$s$ - droga przebyta przez ciało.

Wówczas:

$E_{\text{pobr}}=W_F$

$E_{\text{pobr}}=Fs$

Energia uzyskana przez układ odpowiada pracy jaką wykonała siła przeciwdziałające sile ciężkości ${\vec{F}}_c$, czyli:

$E_{\text{uzys}}=W_{F_c}$

$E_{\text{uzys}}=F_{c}s$

$E_{\text{uzys}}=mgs$

Wówczas wzór na sprawność układu wynosi:

${\eta }_u=\frac{E_{\text{uzys}}}{E_{\text{pobr}}}$

${\eta }_u=\frac{mgs}{Fs}$

${\eta }_u=\frac{mg\cancel{s}}{F\cancel{s}}$

${\eta }_u=\frac{mg}{F}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

${\eta }_u=\frac{20\mathrm{kg}\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{244\mathrm{N}}=$

$=\frac{20\cdot 9,81}{244}\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{N}}=$

$=\frac{196,2}{244}\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$\approx 0,8041\frac{\cancel{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}}{\cancel{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}}\approx 80\%$

 Sprawność bloku A 

W tym przypadku energia jest pobierana przez siłę napięcia liny na odcinku 2, czyli przez siłę nacisku $F_N$:

$E_{\text{pobr}}=W_{F_N}$

$E_{\text{pobr}}=F_{N}s$

Natomiast energia uzyskana przez A odpowiada przyrostowi energii potencjalnej na jaką zostało wzniesione ciało o masie $m$:

$E_{\text{uzys}}=\Delta E_p$

Wiemy, że zmianę energii potencjalnej ciała opisujemy wzorem:

$\Delta E_p=mg\Delta h$

gdzie:

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$\Delta h$ - zmiana wysokości ciała.

W naszym przypadku zmiana wysokości ciała jest taka sama jak droga $s$ :

$\Delta E_p=mgs$

Wówczas sprawność bloku A możemy zapisać wzorem:

${\eta }_A=\frac{E_{\text{uzys}}}{E_{\text{pobr}}}$

${\eta }_A=\frac{\Delta E_p}{W_{F_N}}$

${\eta }_A=\frac{mgs}{F_{N}s}$

${\eta }_A=\frac{mg\cancel{s}}{F_N\cancel{s}}$

${\eta }_A=\frac{mg}{F_N}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

${\eta }_A=\frac{20\mathrm{kg}\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{218\mathrm{N}}=$

$=\frac{20\cdot 9,81}{218}\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{N}}=$

$=\frac{196,2}{218}\frac{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=0,9\frac{\cancel{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}}{\cancel{\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}}=90\%$

 Sprawność bloku B 

W tym przypadku energia jest pobierana przez siłę ciągnącą linę, czyli przez siłę $\vec{F}$:

$E_{\text{pobr}}=W_F$

$E_{\text{pobr}}=Fs$

Natomiast energia uzyskana przez blok B odpowiada pracy wykonanej przez siłę naciągu nici ${\vec{F}}_N$ na tym samym odcinku $s$:

$E_{\text{uzys}}=W_{F_N}$

$E_{\text{uzys}}=F_{N}s$

Wówczas sprawność bloku B możemy zapisać wzorem:

${\eta }_B=\frac{E_{\text{uzys}}}{E_{\text{pobr}}}$

${\eta }_B=\frac{F_{N}s}{Fs}$

${\eta }_B=\frac{F_N\cancel{s}}{F\cancel{s}}$

${\eta }_B=\frac{F_N}{F}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

${\eta }_B=\frac{218\mathrm{N}}{244\mathrm{N}}=$

$=\frac{218}{244}\frac{\cancel{\mathrm{N}}}{\cancel{\mathrm{N}}}=$

$\approx 0,8934\approx 89\%$

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania! Zgodnie z definicją sprawności wiemy, że iloczyn sprawności odpowiednich elementów układu jest równy sprawności całego układu. W naszym przypadku zapiszemy to w postaci: ${\eta }_u={\eta }_A{\eta }_B$ Wprowadzając wzory oraz wartości otrzymamy: ${\eta }_A\cdot {\eta }_B=\frac{mg}{F_N}\cdot \frac{F_N}{F}=\frac{mg}{F}$ ${\eta }_A\cdot {\eta }_B\approx 0,9\cdot 0,89\approx 0,8\approx 80\%$ Widzimy więc, że zgadza się to ze wzorem oraz wartością sprawności całego układu: ${\eta }_u=\frac{mg}{F}$ ${\eta }_u\approx 80\%$

 

Odpowiedź: Sprawność całego układu wynosi około 80%, natomiast sprawność bloku A wynosi 90%, a bloku B sprawność wynosi około 89%.