Z zadania 8b na stronie 141 wiemy, że dziecko ciągnęło skrzynkę z zabawkami ciągnąc je z siłą 40 N pod kątem 20° do poziomu. Współczynnika tarcia kinetycznego wynosił 0,2, a masa skrzynki to 12 kg. 

Dane:

$F=40\text{N}$  

$f=0,2$  

$m=12\text{kg}$  

$\alpha ={20}^{\circ }$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$r=1\text{m}$  

Rozwiązanie:

Narysujmy to:

gdzie: 

$\overrightarrow{F_g}$   - siła ciężkości skrzynki,

$\overrightarrow{F}$   - siła ciągnąca skrzynkę,

$\overrightarrow{F_{\mid \mid }}$  i $\overrightarrow{F_{\perp }}$   - składowe siły ciągnącej,

$\overrightarrow{T}$   - siła tarcia.

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\sin \alpha =\frac{F_{\perp }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\perp }=F_g\sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\mid \mid }=F_g\cos \alpha$  

 

$a)$  

Praca wykonana przez dziecko wynika z działania na skrzynię siłą ciągnącą. Pracę wykonaną przez poruszające się ciało przedstawiamy zależnością:

$W=\overrightarrow{F}\circ \overrightarrow{r}=Fr\cos \left|\angle \left(F,r\right)\right|$  

gdzie:

$W$   - wykonana praca,

$\overrightarrow{F}$   - siła przemieszczająca ciało,

$\overrightarrow{r}$   - wektor przemieszczenia ciała.

Bierzemy pod uwagę kosinus kąta pomiędzy wektorem siły i wektorem przesunięcia. Wówczas dla naszego przypadku możemy zapisać, że praca wykonana przez dziecko ma postać:

$W=Fr\cos \alpha$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=40\text{N}\cdot 1\text{m}\cdot \cos {20}^{\circ }=40\text{N}\cdot 1\text{m}\cdot 0,9397=37,588\text{N}\cdot \text{m}\approx 37,6\text{J}$  

Odpowiedź: Praca wykonana przez dziecko wynosi około 37,6 J.

 

$b)$  

Obliczmy pracę potrzebną na pokonanie siły tarcia:

$W_T=Tr\cos 0^{\circ }$  

$W_T=Tr$  

Siła tarcia jest iloczyn współczynnika tarcia oraz siły nacisku ciała na podłoże:

$T=f{F}_N$  

gdzie:

$f$   - współczynnik tarcia,

$F_N$   - wartość siły nacisku.

Z rysunku wynika, że nacisk ciała na podłoże jest wypadkową siły ciężkości i składową siły ciągnącej:

$F_N=F_g-F_{\perp }$  

$F_N=F_g-F\sin \alpha$  

Siła ciężkości jest iloczynem masy i przyspieszenia:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$   - masa skrzynki,

$g$   - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zatem możemy zapisać, że praca wykonana przez siły tarcia przy przesuwaniu skrzyni przez dziecko ma postać:

$W_T=Tr$  

$W_T=f{F}_{N}r$  

$W_T=f\left(F_g-F\sin \alpha \right)r$  

$W_T=fr\left(mg-F\sin \alpha \right)$  

Zatem możemy obliczyć, jaka część całkowitej pracy dziecka była związana z siłą tarcia:

$\frac{W_T}{W}=\frac{fr\left(mg-F\sin \alpha \right)}{Fr\cos \alpha }$  

$\frac{W_T}{W}=\frac{f\left(mg-F\sin \alpha \right)}{F\cos \alpha }$  

$\frac{W_T}{W}=\frac{0,2\cdot \left(12\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-40\text{N}\cdot \sin {20}^{\circ }\right)}{40\text{N}\cdot \cos {20}^{\circ }}$  

$\frac{W_T}{W}=\frac{0,2\cdot \left(120\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-40\text{N}\cdot 0,342\right)}{40\text{N}\cdot 0,9397}$  

$\frac{W_T}{W}=\frac{0,2\cdot \left(120\text{N}-13,68\text{N}\right)}{37,588\text{N}}$  

$\frac{W_T}{W}=\frac{0,2\cdot 106,32\text{N}}{37,588\text{N}}$  

$\frac{W_T}{W}=\frac{21,264\text{N}}{37,588\text{N}}$  

$\frac{W_T}{W}\approx 0,56571$  

$\frac{W_T}{W}\approx 57\%$  

Zatem druga część pracy dziecka została wykorzystana na uzyskanie energii kinetyczne skrzyni, czyli:

$\frac{E_K}{W}+\frac{W_T}{W}=100\%\mid -\frac{W_T}{W}$  

$\frac{E_K}{W}=100\%-\frac{W_T}{W}$  

$\frac{E_K}{W}\approx 100\%-57\%$  

$\frac{E_K}{W}\approx 43\%$  

Odpowiedź: Około 57% całkowitej pracy dziecka zostało przeznaczone na pokonanie sił tarcia, a około 43% na nadanie skrzyni energii kinetycznej.