Dwie kule bilardowe o identycznych masach...- Zadanie Zadanie 8.: Teraz matura. Fizyka. Zadania i arkusze maturalne. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Pierwsza kula przed zderzeniem miała prędkość $v_{1}$ , a druga $v_{2}$ . Po zderzeniu każda z tych kul uzyskała inne prędkości skierowane analogicznie jak poprzednio: pierwsza $u_{1 x}$ , druga $u_{2 x}$ . Wiemy, że:

$v_{1} = v$

Pierwsza kulka odbijając się od drugiej zmieniła kierunek o kąt $α$ . Wykonajmy rysunek:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że:

$sin α = \frac{u _{1 y}}{u _{1}}, czyli u_{y 1} = u_{1} sin α$

$cos α = \frac{u _{1 x}}{u _{1}}, czyli u_{1 x} = u_{1} cos α$

$sin β = \frac{u _{2 y}}{u _{2}}, czyli u_{2 y} = u_{2} sin β$

$cos β = \frac{u _{2 x}}{u _{2}}, czyli u_{2 x} = u_{2} cos β$

Kule są takie same, czyli będą miały takie same masy. Rozważmy składowe pędów w kierunku poziomym. Pęd pierwszej kuli przed zderzeniem będzie wynosił:

$p_{1.1} = m v_{1}$

Pęd drugiej kuli przed zderzeniem będzie miał postać:

$p_{2.1} = m v_{2}$

$p_{2.1} = m \cdot 0$

$p_{2.1} = 0$

Pęd pierwszej kuli po zderzeniu będzie miał postać:

$p_{1.2} = m u_{x 1}$

Pęd drugiej kuli po zderzeniu będzie miał postać:

$p_{2.2} = m u_{2 x}$

Korzystając z zasady zachowania pędu otrzymujemy, że:

$p_{1.1} + p_{2.1} = p_{1.2} + p_{2.2}$

$m v_{1} + 0 = m u_{1 x} + m u_{2 x} ∣ : m$

$v = u_{1 x} + u_{2 x}$

$v = u_{1} cos α + u_{2} cos β$

Rozważmy składowe wektorów pędu w kierunku pionowym. Zwróćmy uwagę, że składowe pionowe piłek po zderzeniu mają takie same kierunki, ale przeciwne zwrotu. Wówczas:

$p_{1.1} = 0 oraz p_{2.1} = 0 oraz p_{1.2} = m u_{1 y} oraz p_{2.2} = - m u_{2 y}$

Korzystając z zasady zachowania pędu mamy:

$p_{1.1} + p_{2.1} = p_{1.2} + p_{2.2}$

$0 + 0 = m u_{1 y} - m u_{2 y} ∣ : m$

$0 = u_{1 y} - u_{2 y}$

$0 = u_{1} sin α - u_{2} sin β$

Energia kinetyczne poszczególnych kulek przed i po zderzeniu będą miały postać:

$E_{1.1} = \frac{m v _{1}^{2}}{2} oraz E_{1.2} = \frac{m u _{1}^{2}}{2} oraz E_{2.1} = \frac{m v _{2}^{2}}{2} = 0 oraz E_{2.2} = \frac{m u _{2}^{2}}{2}$

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy, że:

$E_{1.1} + E_{2.1} = E_{1.2} + E_{2.2}$

$\frac{m v _{1}^{2}}{2} + 0 = \frac{m u _{1}^{2}}{2} + \frac{m u _{2}^{2}}{2} ∣ \cdot \frac{2}{m}$

$v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$

Otrzymaliśmy zatem trzy równania, z których wyznaczamy prędkości kulek po zderzeniu:

$⎩ ⎨ ⎧ v = u_{1} cos α + u_{2} cos β 0 = u_{1} sin α - u_{2} sin β v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$

Podnosimy do kwadratu pierwsze dwa równania. Pierwsze:

$v^{2} = (u_{1} cos α + u_{2} cos β)^{2}$

$v^{2} = u_{1}^{2} cos^{2} α + u_{2}^{2} cos^{2} β + 2 u_{1} u_{2} cos α cos β$

Drugie:

$0 = (u_{1} sin α - u_{2} sin β)^{2}$

$0 = u_{1}^{2} sin^{2} α + u_{2}^{2} sin^{2} β - 2 u_{1} u_{2} sin α sin β$

Dodajemy te równania stronami:

$\frac{+ { v ^{2} = u _{1}^{2} cos ^{2} α + u _{2}^{2} cos ^{2} β + 2 u _{1} u _{2} cos α cos β u _{1}^{2} sin ^{2} α + u _{2}^{2} sin ^{2} β - 2 u _{1} u _{2} sin α sin β}{v ^{2} = u _{1}^{2} ( sin ^{2} α + cos ^{2} α ) + u _{2}^{2} ( sin ^{2} β + cos ^{2} β ) + 2 u _{1} u _{2} ( cos α cos β - sin α sin β )}$

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy, że:

$v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + 2 u_{1} u_{2} (cos α cos β - sin α sin β)$

Z trzeciego równania mamy, że:

$v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}, czyli v^{2} - u_{1}^{2} - u_{2}^{2} = 0$

Zatem:

$v^{2} - u_{1}^{2} - u_{2}^{2} = 2 u_{1} u_{2} (cos α cos β - sin α sin β)$

$0 = 2 u_{1} u_{2} (cos α cos β + sin α sin β)$

Ponieważ $u_{1} \neq = 0$ oraz $u_{2} \neq = 0$ to z tego wynika, że:

$cos α cos β - sin α sin β = 0$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych wiemy, że:

$cos x \cdot cos y = \frac{1}{2} (cos (x - y) + cos (x + y))$

$sin x \cdot sin y = \frac{1}{2} (cos (x - y) - cos (x + y))$

Zatem dla naszego przypadku mamy, że:

$cos α cos β - sin α sin β = 0$

$\frac{1}{2} (cos (α - β) + cos (α + β)) - \frac{1}{2} (cos (α - β) - cos (α + β)) = 0 ∣ \cdot 2$

$cos (α - β) + cos (α + β) - cos (α - β) + cos (α + β) = 0 ∣ \cdot 2$

$2 cos (α + β) = 0 ∣ : 2$

$cos (α + β) = 0$

Oznacza to, że:

$α + β = \frac{π}{2}$

$α + β = 90^{\circ} ∣ - α$

$β = 90^{\circ} - α$

Zatem możemy zapisać, że:

$sin β = sin (90^{\circ} - α) = cos α$

$cos β = cos (90^{\circ} - α) = sin α$

Wówczas z dwóch pierwszych równań w układzie otrzymujemy, że:

${v = u_{1} cos α + u_{2} cos β 0 = u_{1} sin α - u_{2} sin β$

${v = u_{1} cos α + u_{2} sin α ∣ \cdot cos α 0 = u_{1} sin α - u_{2} cos α ∣ \cdot sin α$

${v cos α = u_{1} cos^{2} α + u_{2} sin α cos α 0 = u_{1} sin^{2} α - u_{2} sin α cos α$

Dodajemy, je stronami:

$\frac{+ { v cos α = u _{1} cos ^{2} α + u _{2} sin α cos α 0 = u _{1} sin ^{2} α - u _{2} sin α cos α}{v cos α = u _{1} ( sin ^{2} α + cos ^{2} α ) + 0}$