Dane:

${\rho }_w={10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

${\rho }_{\text{Fe}}=7,6\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Szukane:

$\frac{R_z}{R_w}=?$  

Rozwiązanie:

Mamy kulę, która w środku jest pusta, czyli posiada pewien promień wewnętrzny oraz promień zewnętrzny. Ponadto jest całkowicie zanurzona w wodzie. Działa na nią siła wyporu $F_w$ , która jest równoważona przez siłę ciężkości $Q$ . Zauważmy, że:

Siłę wyporu przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_w=\rho gV$  

gdzie $\rho$  jest gęstością cieczy, w której zanurzone jest ciało, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim, $V$  jest objętością wypartej cieczy, równą objętości ciała zanurzonego w wodzie. W naszym przypadku objętość całkowita kuli zanurzonej w wodzie wynosi:

$V_c=\frac{4}{3}\pi R_z^3$  

Wówczas siła wyporu ma postać:

$F_w={\rho }_{w}g{V}_c$  

$F_w={\rho }_{w}g\cdot \frac{4}{3}\pi R_z^3$  

$F_w=\frac{4}{3}\pi {\rho }_{w}g{R}_z^3$  

Ciężar kuli ma postać:

$Q=mg$  

gdzie $m$  jest masą kuli, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Masę kuli możemy obliczyć korzystając z definicji gęstości, jako iloczyn gęstości substancji, z której została wykonana kula oraz jej objętości:

$m={\rho }_{\text{Fe}}{V}_k$  

Ponieważ kula w środku jest pusta to objętość żelaza wykorzystanego do wykonania kuli obliczymy jako różnicę objętości całej zewnętrznej kuli $V_z$  oraz objętości pustego wnętrza kuli $V_w$ :

$V_k=V_z-V_w$  

$V_k=\frac{4}{3}\pi R_z^3-\frac{4}{3}\pi R_w^3$  

$V_k=\frac{4}{3}\pi \left(R_z^3-R_w^3\right)$  

Zatem ciężar kuli będzie miał postać:

$Q=mg$  

$Q={\rho }_{\text{Fe}}{V}_{k}g$  

$Q={\rho }_{\text{Fe}}\cdot \frac{4}{3}\pi \left(R_z^3-R_w^3\right)g$  

$Q=\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{Fe}}g\left(R_z^3-R_w^3\right)$  

Z I zasady dynamiki Newtona otrzymujemy, że:

$Q=F_w$  

$\frac{4}{3}\pi {\rho }_{\text{Fe}}g\left(R_z^3-R_w^3\right)=\frac{4}{3}\pi {\rho }_{w}g{R}_z^3\mid :\left(\frac{4}{3}\pi g\right)$  

${\rho }_{\text{Fe}}\left(R_z^3-R_w^3\right)={\rho }_w{R}_z^3$  

${\rho }_{\text{Fe}}{R}_z^3-{\rho }_{\text{Fe}}{R}_w^3={\rho }_w{R}_z^3\mid +{\rho }_{\text{Fe}}{R}_w^3$  

${\rho }_{\text{Fe}}{R}_z^3={\rho }_w{R}_z^3+{\rho }_{\text{Fe}}{R}_w^3\mid -{\rho }_w{R}_z^3$  

${\rho }_{\text{Fe}}{R}_z^3-{\rho }_w{R}_z^3={\rho }_{\text{Fe}}{R}_w^3$  

$\left({\rho }_{\text{Fe}}-{\rho }_w\right)R_z^3={\rho }_{\text{Fe}}{R}_w^3\mid :\left({\rho }_{\text{Fe}}-{\rho }_w\right)$  

$R_z^3=\frac{{\rho }_{\text{Fe}}}{{\rho }_{\text{Fe}}-{\rho }_w}{R}_w^3\mid :R_w^3$  

$\frac{R_z^3}{R_w^3}=\frac{{\rho }_{\text{Fe}}}{{\rho }_{\text{Fe}}-{\rho }_w}$  

${\left(\frac{R_z}{R_w}\right)}^3=\frac{{\rho }_{\text{Fe}}}{{\rho }_{\text{Fe}}-{\rho }_w}\mid \sqrt[3]{}$  

$\frac{R_z}{R_w}=\sqrt[3]{\frac{{\rho }_{\text{Fe}}}{{\rho }_{\text{Fe}}-{\rho }_w}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{R_z}{R_w}=\sqrt[3]{\frac{7,6\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{7,6\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-{10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}=\sqrt[3]{\frac{7,6\cdot \cancel{{10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}{6,6\cdot \cancel{{10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}}\approx$  

$=\sqrt[3]{1,1515152}\approx 1,048149484\approx 1,048$