a)

Dane:

$\lambda =10\text{cm}=0,1\text{m}$

$A=1\text{cm}=0,01\text{m}$   

$v=54\frac{\text{cm}}{\text{s}}=0,54\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$t_0=0\text{s}$

$x_0=0\text{cm}=0\text{m}$

$y\left(0,0\right)=0\text{cm}=0\text{m}$

Rozwiązanie:

Ogólny wzór na funkcję falową jest dany jako:

$y\left(x,t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\phi }_0\right]$     

Okres tej fali wyznaczymy ze wzoru:

$v=\frac{\lambda }{T}$

$T=\frac{\lambda }{v}$

$T=\frac{0,1\text{m}}{0,54\frac{\text{m}}{\text{s}}}=0,185\text{s}$    

Częstość tej fali wyznaczymy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

$\omega =\frac{2\cdot 3,14}{0,185\text{s}}=33,95\frac{1}{\text{s}}$  

Podstawmy do wzoru znane wartości:

$y\left(x,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-\frac{x}{0,54}\right)+{\phi }_0\right]$   

$y\left(x,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x\right)+{\phi }_0\right]$   

Wyznaczmy fazę początkową tej fali podstawiając do wzoru warunki początkowe:

$y\left(0,0\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(0-1,85\cdot 0\right)+{\phi }_0\right]$  

$0=0,01\cdot \sin \left({\phi }_0\right)$  

$\sin \left({\phi }_0\right)=0$  

${\phi }_0=0$  

Zatem ogólne równanie tej fali przyjmuje postać:

$y\left(x,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x\right)\right]$   

 

b)

Ogólne równanie fali jest dane jako:

$y\left(x,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x\right)\right]$  

Rysujemy zależność wychylenia od położenia dla tej fali dla chwili $t_0=0$  :

$y\left(x,0\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(0-1,85\cdot x\right)\right]$  

$y\left(x\right)=0,01\cdot \sin \left(-62,8\cdot x\right)$  

Nanosimy na wykres zależność daną powyższą funkcją sinusoidalną:

 

c)

Ogólne równanie fali jest dane jako:

$y\left(x,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x\right)\right]$  

Dla pierwszego punktu przyjmijmy  $x=x_1$  :

$y\left(x_1,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x_1\right)\right]$  

Dla drugiego punktu przyjmijmy $x=x_2=x_1+3\lambda$  :

$y\left(x_2,t\right)=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot \left(x_1+3\lambda \right)\right)\right]$  

Sprawdźmy, czy drgania odbywają się w tej samej fazie (czy wychylenia w dowolnej chwili czasowej są takie same dla tych punktów):

$y\left(x_1,t\right)=y\left(x_2,t\right)$  

$0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x_1\right)\right]=0,01\cdot \sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot \left(x_1+3\lambda \right)\right)\right]$  

$\sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x_1\right)\right]=\sin \left[33,95\cdot \left(t-1,85\cdot \left(x_1+3\lambda \right)\right)\right]$  

$33,95\cdot \left(t-1,85\cdot x_1\right)=33,95\cdot \left(t-1,85\cdot \left(x_1+3\lambda \right)\right)+2k\pi$  

$33,95t-62,8x_1=33,95t-62,8x_1-188,42\lambda +2k\pi$  

$-62,8x_1=-62,8x_1-188,42\lambda +2k\pi$  

$0=-188,42\lambda +2k\pi ,k\in Z$  

$188,42\lambda =2k\pi$  

$k=\frac{188,42\lambda }{2\pi }$  

Wiemy, że długość tej fali wynosi:

$\lambda =10\text{cm}=0,1\text{m}$

$k=\frac{188,42\cdot 0,1}{2\cdot 3,14}=3$   

$k$   musi być liczbą całkowitą, otrzymaliśmy jej wartość równą 3 z bardzo dobrą dokładnością. Zatem w punktach, których współrzędne różnią się o $3\lambda$   drgania odbywają się w tej samej fazie.