Dane:

$f_s=20cm$  

$f_r=30cm$  

$d=10cm$  

 

$a)$  

Odległość przedmiotu od soczewki skupiającej:  $x_1\to +\infty$  

Jeżeli $x_1\to +\infty$  to wyrażenie $\frac{1}{x_1}\to 0$ . Dla soczewki mamy równanie:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

gdzie f jest ogniskową soczewki, x jest odległością przedmiotu od soczewki, y jest odległością obrazu od soczewki. Z tego wynika, że obraz w soczewce skupiającej powstałby w:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}$  

$0+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}$  

$y_1=f_s$  

$y_1=20cm$  

Wykonajmy konstrukcję dla soczewki skupiającej początkowo pomijając zmiany wynikające z soczewki rozpraszającej:

Powyższa konstrukcja pokazuje zachowanie promienia z pominięciem soczewki rozpraszającej. Ponieważ jednak promień napotyka soczewkę rozpraszającą to otrzymany obraz przedmiotu traktujemy, jak przedmiot pozorny w przypadku soczewki rozpraszającej. Wykonajmy konstrukcję uwzględniając soczewkę rozpraszającą:

Zauważmy, że:

$x_2=y_1-d$  

$x_2=20cm-10cm$  

$x_2=10cm$  

W przypadku soczewki rozpraszającej mamy do czynienia z pozornym ogniskiem. Z tego wynika, że możemy zapisać równanie soczewki:

$\frac{1}{x_2}+\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{f_r}\mid -\frac{1}{x_2}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{x_2}-\frac{1}{f_r}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{10cm}-\frac{1}{30cm}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{3}{30cm}-\frac{1}{30cm}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{4}{30cm}$  

$y_2=-\frac{30}{4}cm$  

$y_2=-7,5cm$  

Powstały obraz jest pozorny, ale ponieważ przedmiot był pozorny to ostatecznie otrzymujemy obraz rzeczywisty.

Odpowiedź: Otrzymaliśmy następujące wielkości: dla $x_1\to +\infty$ mamy $y_1=20cm,x_2=10cm$ i $y_2=7,5cm$ . Powstały obraz jest odwrócony, pomniejszony i rzeczywisty.

 

$b)$  

Odległość przedmiotu od soczewki skupiającej:  $x_1=100cm.$  

Wykonajmy konstrukcję dla soczewki skupiającej:

Wyznaczmy odległość powstałego w soczewce skupiającej obrazu od tej soczewki:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}\mid -\frac{1}{x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}-\frac{1}{x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{20cm}-\frac{1}{100cm}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{5}{100cm}-\frac{1}{100cm}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{4}{100cm}$  

$y_1=\frac{100}{4}cm$  

$y_1=25cm$  

Powstały obraz jest rzeczywisty dla soczewki skupiającej. Dla soczewki rozpraszającej będzie on spełniał rolę pozornego przedmiotu. Zauważmy, że odległość powstałego obrazu od soczewki rozpraszającej wynosi:

$x_2=y_1-d$  

$x_2=25cm-10cm$  

$x_2=15cm$  

Wykonajmy konstrukcję:

W przypadku soczewki rozpraszającej mamy do czynienia z pozornym ogniskiem. Z tego wynika, że możemy zapisać równanie soczewki:

$\frac{1}{x_2}+\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{f_r}\mid -\frac{1}{x_2}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{x_2}-\frac{1}{f_r}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{15cm}-\frac{1}{30cm}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{2}{30cm}-\frac{1}{30cm}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{3}{30cm}$  

$y_2=-\frac{30}{3}cm$  

$y_2=-10cm$  

Powstały obraz jest pozorny, ale ponieważ przedmiot był pozorny to ostatecznie otrzymujemy obraz rzeczywisty.

Odpowiedź: Otrzymaliśmy następujące wielkości: dla $x_1=100cm$ mamy $y_1=25cm,x_2=15cm$ i $y_2=10cm$ . Powstały obraz jest odwrócony, pomniejszony i rzeczywisty.

 

$c)$  

Odległość przedmiotu od soczewki skupiającej:  $x_1=40cm.$  

Wykonajmy konstrukcję obraz dla soczewki skupiającej i rozpraszającej na jednym rysunku:

Wyznaczmy odległość powstałego w soczewce skupiającej obrazu od tej soczewki:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}\mid -\frac{1}{x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}-\frac{1}{x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{20cm}-\frac{1}{40cm}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{2}{40cm}-\frac{1}{40cm}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{40cm}$  

$y_1=40cm$  

Powstały obraz jest rzeczywisty dla soczewki skupiającej. Dla soczewki rozpraszającej będzie on spełniał rolę pozornego przedmiotu. Zauważmy, że odległość powstałego obrazu od soczewki rozpraszającej wynosi:

$x_2=y_1-d$  

$x_2=40cm-10cm$  

$x_2=30cm$  

W przypadku soczewki rozpraszającej mamy do czynienia z pozornym ogniskiem. Z tego wynika, że możemy zapisać równanie soczewki:

$\frac{1}{x_2}+\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{f_r}\mid -\frac{1}{x_2}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{x_2}-\frac{1}{f_r}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{30cm}-\frac{1}{30cm}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{2}{30cm}$  

$y_2=-\frac{30}{2}cm$  

$y_2=-15cm$  

Powstały obraz jest pozorny, ale ponieważ przedmiot był pozorny to ostatecznie otrzymujemy obraz rzeczywisty.

Odpowiedź: Otrzymaliśmy następujące wielkości: dla $x_1=40cm$ mamy $y_1=40cm,x_2=30cm$ i $y_2=15cm$ . Powstały obraz jest odwrócony, pomniejszony i rzeczywisty.

 

$d)$  

Odległość przedmiotu od soczewki skupiającej:  $x_1=20cm.$  

Wykonajmy konstrukcję obraz dla soczewki skupiającej i rozpraszającej na jednym rysunku:

Odpowiedź: Promienie są równoległe i obraz nie powstaje.

 

$e)$  

Odległość przedmiotu od soczewki skupiającej:  $x_1=10cm.$  

Wykonajmy konstrukcję obraz dla soczewki skupiającej i rozpraszającej na jednym rysunku:

Wyznaczmy odległość powstałego w soczewce skupiającej obrazu od tej soczewki:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}\mid -\frac{1}{x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{f_s}-\frac{1}{x_1}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{20cm}-\frac{1}{10cm}$  

$\frac{1}{y_1}=\frac{1}{20cm}-\frac{2}{20cm}$  

$\frac{1}{y_1}=-\frac{1}{20cm}$  

$y_1=-20cm$  

Powstały obraz jest pozorny dla soczewki skupiającej. Dla soczewki rozpraszającej będzie on spełniał rolę pozornego przedmiotu, ponieważ promienie tworzące obraz nie przechodzą przez soczewkę rozpraszającą. Zauważmy, że odległość powstałego obrazu od soczewki rozpraszającej wynosi:

$x_2=y_1+d$  

$x_2=20cm-10cm$  

$x_2=30cm$  

W przypadku soczewki rozpraszającej mamy do czynienia z pozornym ogniskiem. Z tego wynika, że możemy zapisać równanie soczewki:

$\frac{1}{x_2}+\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{f_r}\mid -\frac{1}{x_2}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{x_2}-\frac{1}{f_r}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{1}{30cm}-\frac{1}{30cm}$  

$\frac{1}{y_2}=-\frac{2}{30cm}$  

$y_2=-\frac{30}{2}cm$  

$y_2=-15cm$  

Powstały obraz jest pozorny, ale ponieważ przedmiot był pozorny to ostatecznie otrzymujemy obraz rzeczywisty.

Odpowiedź: Otrzymaliśmy następujące wielkości: dla $x_1=10cm$ mamy $y_1=20cm,x_2=30cm$ i $y_2=15cm$ . Powstały obraz jest prosty, tej samej wielkości i rzeczywisty.