Dane:

$d=1,33\mu m=1,33\cdot {10}^{-6}m$  

$\beta ={20}^{\circ }$  

Szukane:

$\lambda =?$  

Rozwiązanie:

Wzór opisujący zależność długości fali na siatce dyfrakcyjnej ma postać:

$n\cdot \lambda =d\cdot \sin \alpha$  

gdzie $\lambda$  jest długością fali padającej na siatkę dyfrakcyjną o stałym współczynniku $d$ , która padając pod kątem $\alpha$  daje prążek interferencyjny n-tego rzędu. Wiemy, że kąt pomiędzy prążkiem 2 i 3 rzędu wynosi $\beta$ .  Niech kąt pomiędzy prążkiem drugiego rzędu i zerowego rzędy wynosi  $\alpha$ . Wówczas dla prążka drugiego rzędu otrzymujemy:

$2\lambda =d\sin \alpha$  

Natomiast dla prążka trzeciego rzędu otrzymujemy:

$3\lambda =d\sin \left(\alpha +\beta \right)$  

Korzystając z własności trygonometrycznych wiemy, że:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$  

Wyznaczmy w powyższych wzorów $\sin \alpha$ :

$d\sin \alpha =2\lambda \mid :d$  

$\sin \alpha =\frac{2\lambda }{d}$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć $\cos \alpha$ :

${\cos }^2\alpha +{\sin }^{\alpha }=1\mid -{\sin }^2\alpha$  

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$  

${\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{2\lambda }{d}\right)}^2$  

${\cos }^2\alpha =1-\frac{4{\lambda }^2}{d^2}$

${\cos }^2\alpha =\frac{d^2-4{\lambda }^2}{d^2}\mid \sqrt{}$

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{d^2-4{\lambda }^2}}{d}$

Wyznaczmy wartość długości fali:

$3\lambda =d\sin \left(\alpha +\beta \right)\mid :d$

$\frac{3\lambda }{d}=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$

$\frac{3\lambda }{d}=\frac{2\lambda }{d}\cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \frac{\sqrt{d^2-4{\lambda }^2}}{d}\mid -\frac{2\lambda }{d}\cdot \cos \beta$

$\frac{3\lambda }{d}-\frac{2\lambda }{d}\cdot \cos \beta =\sin \beta \cdot \frac{\sqrt{d^2-4{\lambda }^2}}{d}$

$\frac{\lambda }{d}\left(3-2\cos \beta \right)=\sin \beta \cdot \frac{\sqrt{d^2-4{\lambda }^2}}{d}\mid \cdot d$

$\lambda \left(3-2\cos \beta \right)=\sin \beta \sqrt{d^2-4{\lambda }^2}{\mid }^2$

${\lambda }^2{\left(3-2\cos \beta \right)}^2={\sin }^2\beta d^2-4\sin \beta {\lambda }^2\mid +4\sin \beta {\lambda }^2$

${\lambda }^2{\left(3-2\cos \beta \right)}^2+4\sin \beta {\lambda }^2={\sin }^2\beta d^2$

$\left({\left(3-2\cos \beta \right)}^2+4\sin \beta \right){\lambda }^2={\sin }^2\beta d^2\mid :{\left(3-2\cos \beta \right)}^2+4\sin \beta )$

${\lambda }^2=\frac{{\sin }^2\beta d^2}{{\left(3-2\cos \beta \right)}^2+4\sin \beta }\mid \sqrt{}$

$\lambda =\frac{\sin \beta d}{\sqrt{{\left(3-2\cos \beta \right)}^2+4\sin \beta }}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\lambda =\frac{\sin {20}^{\circ }\cdot 1,33\cdot {10}^{-6}m}{\sqrt{{\left(3-2\cdot \cos {20}^{\circ }\right)}^2+4\cdot \sin {20}^{\circ }}}=\frac{0,342\cdot 1,33\cdot {10}^{-6}m}{\sqrt{{\left(3-2\cdot 0,9397\right)}^2+4\cdot 0,342}}=$  

$=\frac{0,45486\cdot {10}^{-6}m}{\sqrt{{\left(3-1,8794\right)}^2+1,368}}=\frac{4,5486\cdot {10}^{-7}m}{\sqrt{{\left(1,1206\right)}^2+1,368}}=$  

$=\frac{4,5486\cdot {10}^{-7}m}{\sqrt{1,25574436+1,368}}=\frac{4,5486\cdot {10}^{-7}m}{\sqrt{2,62374436}}\approx \frac{4,5486\cdot {10}^{-7}m}{1,6198}\approx$  

$\approx 2,81\cdot {10}^{-7}m=281\cdot {10}^{-9}m=281nm$  

Odp.: Długość fali wynosi około $281nm$ .