Oblicz wartość indukcji magnetycznej... - Zadanie 4: Ciekawi świata 2 - Fizyka. Podręcznik zakres rozszerzony cz. 1 - strona 155
Fizyka
Ciekawi świata 2 - Fizyka. Podręcznik zakres rozszerzony cz. 1 (Podręcznik, Operon)
Oblicz wartość indukcji magnetycznej... 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Fizyka

Oblicz wartość indukcji magnetycznej...

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

4
 Zadanie

Dane:

 

 

 

Szukane:

 

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły prawej ręki zauważmy, że zwroty wektorów indukcji pochodzących od wszystkich przewodników w środku kwadratu będą zwrócone za płaszczyznę kartki . Z  tego wynika, że wypadkowy wektor będzie wynosił:

 

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w odległości r od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

 

gdzie B jest indukcją pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi przewodnik, przez który przepływa prąd o natężeniu I w odległości r od tego przewodnika, µ0 jest stałą magnetyczną. Zauważmy, że:

 

Wówczas:

 

 

Otrzymujemy zatem, że wartość wektora indukcji w środku kwadratu wynosi:

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

Odp.: Wartość indukcji magnetycznej wynosi  

DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Barbara Budny
Wydawnictwo: Operon
Rok wydania:
ISBN: 9788376809106
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Równania wielomianowe
Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie równaniami liniowymi i kwadratowymi -nadszedł czas na rozwinięcie ich na wielomiany wyższego stopnia.

Ogólna postać równania wielomianowego to:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$

Rozwiązywanie takiego równania polega na niczym innym, jak znajdowaniu pierwiastków wielomianu. Oczywiście nie zawsze jest to wykonalne, jednak na maturze przykłady są tak ułożone, aby dało się to zrobić poznanymi przez nas metodami:

1) rozkładaniem wyrażenia na czynniki
2) stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
a także stosując nową, której nauczymy się w tym rozdziale:
3) poprzez podstawienie

Zwykle naszym celem będzie doprowadzenie do równania kwadratowego, z którym potrafimy sobie poradzić. Weźmy na przykład równanie:

$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$

1) Po pierwsze można zauważyć, że po wyłączeniu odpowiednich czynników przed nawias

$3x^2(x + 2) + 3(x+2) = 0$

możliwe staje się rozłożenie wielomianu na czynniki

$3(x-2)(x^2 + 1) = 0$

Gdy mamy już postać iloczynową, sprawdzamy po prostu, gdzie zerują się wszystkie nawiasy. W naszym przypadku pierwszy z nich ma pierwiastek w punkcie $x=2$, zaś drugi nie ma go wcale (jest sumą kwadratu i liczby dodatniej). Jedynym rozwiązaniem naszego równania jest więc $x=2$.


2) Druga metoda opiera sie na wypisaniu dzielników pierwszego i ostatniego współczynnika i sprawdzeniu wszystkich ich kombinacji. Jednak zanim to zrobimy warto podzielić obie strony przez równania przez 3 - uprościmy sobie w ten sposób pracę.
$3x^3+6x^2+3x+6 = 0$ $|:3$
$x^3+2x^2+x+2 = 0$

a) Dzielniki 1 to: 1, -1
b) Dzielniki 2 to: 1, 2, -1, -2

Próbując różnych kombinacji odnajdujemy w końcu pierwiastek równy $-2$, a po podzieleniu wielomianu przez dwumian $x+2$ korzystając ze schematu Hornera otrzymujemy $(x+2)(x^2+1) = 0$. Dalsza część jest analogiczna jak w przypadku poprzedniej metody.

Sposób drugi może wydawać się bardziej skomplikowany i czasochłonny, ale jeżeli nie dostrzeżemy, jak należy rozkładać wielomian - jest to nasza jedyna droga.

Trzecia metoda - podstawienia - sprawdza się, gdy mamy do czynienia na przykład z równaniem dwukwadratowym. Jest to równanie postaci:

$ax^{2n} + bx^n + c = 0$

Mimo, że mamy tu do czynienia z wielomianem wysokiego stopnia, podstawiając $x^n = t$ otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$at^2 + bt + c = $

Rozwiązujemy więc to równanie: załóżmy, że ma ono pierwiastki równe $t_1$ oraz $t_2$. Wracamy wtedy do podstawienia i otrzymujemy rozwiązania:

$x_1 = t_1^n$ oraz $x_2 = t_2^n$.

Przykład:
Rozwiązać równanie $x^8 - 5x^4 + 6 = 0$.

Pierwszy krok to podstawienie $t = x^4$. Zapisujemy równanie w nowej formie:
$t^2 - 5t + 6 = 0$

Obliczając deltę i standardowo wyliczając pierwiastki otrzymujemy:

$t_1 = 2$ oraz $t_2 = 3$. Wracając do podstawienia uzyskujemy wyniki $x_1 = 2^4 = 16$ oraz $x_2 = 3^4 = 81$. Należy jeszcze pamiętać o sprawdzeniu, czy wyniki rzeczywiście są pierwiastkami równania wyjściowego. Dlaczego?

Ponieważ jeśli pierwiastkami byłyby liczby ujemne, to po podniesieniu do parzystej potęgi stałyby się dodatnie i w oczywisty sposób nie spełniałyby równania.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiąż równanie:
$2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$

Pierwsza obserwacja, jakiej dokonujemy, to to, że $x = 0$ jest rozwiązaniem tego równania. Możemy więc założyć, że szukamy innych i podzielić obustronnie przez $x$.

$2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 = 0$

Teraz będziemy rozwiązywali to równanie metodą wyłączania przed nawias. Zauważmy, że dzieląc nasz wielomian na dwa składniki możemy łatwo wyłączyć pewien wspólny czynnik:

$x^3(2x - 3) + (2x - 3) = 0$

$(2x - 3)(x^3 + 1) = 0$

Mając już taką postać możemy odnaleźć kolejne rozwiązanie, gdy zeruje się pierwszy czynnik:

$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = {3}/{2}$

Zakładając teraz, że $x ≠ {3}/{2}$ podzielmy obustronnie przez $(2x - 3)$.

Przechodzimy teraz wreszcie do ostatniej części rozwiązania:

$x^3 + 1 = 0$
$x ^3 = -1$

Możemy spierwiastkować obie strony (pierwiastkiem trzeciego stopnia)

$x = -1$

otrzymując w ten sposób trzecie rozwiązanie.

Doszliśmy więc do tego, że rozwiązaniami wyjściowego równania $2x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 3x = 0$ są liczby $0, {3}/{2}, -1$.

Rozkładanie wielomianu na czynniki
Jak już wspomnieliśmy, każdy wielomian można rozłożyć na "czynniki pierwsze": wielomiany pierwszego lub drugiego stopnia. W tym temacie nauczymy się to robić.

1) Pierwszą metodą, jaką można zastosować, jest zauważenie jakiegoś wzoru skróconego mnożenia (przypominam, że poznaliśmy już wzory na różnicę drugich potęg: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$, sumę i różnicę trzecich potęg: odpowiednio $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ oraz $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, a także rozwinięcia drugich i trzecich potęg sum: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$, $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b +3ab^2 - b^3$.

Przykład takiego rozwiązania: rozłożyć na czynniki wielomian $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$. Zauważamy, że jest to tak naprawdę różnica $(3x-2)^3$. Jak na to wpaść? Cóż, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba po prostu zrobić sporo zadań, żeby się w tym wyćwiczyć. Istnieją jednak przesłanki, że odnajdziemy tutaj taki wzór. Po pierwsze: pierwszy i ostatni składnik są sześcianami pewnych liczb. Po drugie: drugi i trzeci dzielą się przez trzy. Minusy także są ułożone odpowiednio.

Inny - łatwiejszy tym razem przykład - to $100x^2-20x+4$. Rozwiązaniem jest oczywiście $(10x-2)^2$. Dlaczego? Tutaj przesłanki są już jaśniejsze: pierwszy i ostatni składnik są kwadratami, a dodatkowo środkowy dzieli się przez 2.


2) Drugim sposobem na rozkładanie wielomianu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Kluczowym w tej metodzie jest odpowiednie pogrupowanie wyrażeń (czasami nawet rozbicie niektórych), tak, aby w ogóle dostrzec ten wspólny czynnik.

Przykład: rozłożyć na czynniki wielomian $x^3-2x^2 + 5x -10$. Widzimy, że możemy to zapisać jako $x^2(x-2) + 5(x-2)$. Teraz oczywistym jest już wyłączenie wspólnego czynnika $(x-2)$ przed nawias: w efekcie otrzymujemy $(x-2)(x^2+5)$, co jest już nierozkładalne (ponieważ wielomianu liniowego nie da się już rozłożyć, a wielomian kwadratowy, aby móc go rozłożyć, musi mieć pierwiastek: ten go nie mia).

Dużo trudniejsze jest jednak na przykład rozbicie wielomianu $x^3-x^2-x-15$. Aby to zrobić, trzeba zauważyć, że $x^2$ możemy rozbić na $-3x^2 +2x^2$ a $-x$ na $-6x + 5x$. Wtedy otrzymujemy $x^3-3x^2 + 2x^2-6x + 5x -15$, widzimy, że z każdych dwóch następujących po sobie wyrazów możemy wyłączyć $(x-3)$, i w efekcie otrzymujemy $(x-3)x^2 + (x-3)2x + (x-3)5 = (x-3)(x^2+2x+5)$, co jest już nierozkładalne. Jak można było na to wpaść? Nie ma jednej odpowiedzi. Trzeba po prostu sporo trenować. Na pocieszenie dodam jednak, że przykład takiej trudności raczej nie pojawiłby się na maturze - chociaż, kto wie, zawsze lepiej umieć więcej niż mniej.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom