Dane:

Temperatura lodowej kuli:  $T=263K$  

Temperatura topnienia lodu:  $T_0=273K$  

Procent energii przechodzący w energie wewnętrzną:  $k=50\%\Rightarrow k=0,5$  

Ciepło topnienia lodu: $L=334000\frac{J}{kg}$  

Ciepło właściwe lodu:  $c_l=2100\frac{J}{kg}$  

Szukane:

Prędkość lodowej kuli przy stratach energii:  $v=?$  

Prędkość lodowej kuli nie zakładając strat energii:  $v_2=?$  

Rozwiązanie:

Prędkość kuli przy stratach energii

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Wówczas energie wewnętrzną kulki lodu przedstawimy wzorem:

$E_w=k{E}_k$  

$E_w=k\cdot \frac{m{v}^2}{2}$  

Ciepło pobrane przez kulkę równe jest sumie ciepła potrzebnego na podniesienie temperatury lodu oraz ciepła wydzielonego przy topnieniu lodu. Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q=mc\Delta T$  

gdzie Q jest ciepłem oddanym lub pobranym przez ciało o masie m przy zmianie temperatury o ΔT, c jest ciepłem właściwym substancji. Z tego wynika, że ciepło potrzebne na podniesienie temperatury lodu ma postać:

$Q=m{c}_l\left(T_0-T\right)$  

Ciepło topnienia jest ilością energii potrzebną do stopienie się jednostki masy danej substancji przy stałym ciśnieniu i temperaturze. Możemy przedstawić je za pomocą wzoru:

$Q_t=mL$  

gdzie Q_t jest ciepłem potrzebnym na zmianę stanu skupienia z stałego na ciekły, m jest masą stopionej substancji, L jest ciepłem topnienia tej substancji. Wówczas całkowite ciepło pobrane przez kulkę lodu ma postać:

$Q_{\text{pobrane}}=Q+Q_t$   

$Q_{\text{pobrane}}=m{c}_l\left(T_0-T\right)+mL$   

$Q_{\text{pobrane}}=m\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)$   

Ciepło pobrane potrzebne na stopienie lodu równe jest energii wewnętrznej tej kulki lodu. Wówczas otrzymujemy, że prędkość, z jaką powinna uderzyć w ziemię kulka lodu, aby ulec stopnieniu przy założonych stratach energii ma postać:

$E_w=Q_{\text{pobrane}}$  

$k\cdot \frac{m{v}^2}{2}=m\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)\mid \cdot 2$  

$km{v}^2=2m\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)\mid :km$  

$v^2=\frac{2\sout{m}\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)}{k\sout{m}}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{2\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)}{k}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{2\cdot \left(2100\frac{J}{kg\cdot K}\cdot \left(273K-263K\right)+334000\frac{J}{kg}\right)}{0,5}}=\sqrt{\frac{2\cdot \left(2100\frac{\sout{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}}{\sout{kg\cdot K}}\cdot 10\sout{K}+334000\left(\sout{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}\right)\right)}{0,5}}=$  

$=\sqrt{\frac{2\cdot \left(21000\frac{m^2}{s^2}+334000\frac{m^2}{s^2}\right)}{0,5}}=\sqrt{\frac{2\cdot 355000\frac{m^2}{s^2}}{0,5}}=\sqrt{\frac{710000\frac{m^2}{s^2}}{0,5}}=$  

$=\sqrt{1420000\frac{m^2}{s^2}}\approx 1192\frac{m}{s}$  

Odp.: Kulka powinna uderzyć w ziemię z prędkością równą około  $1192\frac{m}{s}.$  

---

Prędkość kulki z pominięciem strat energii

Jeżeli pomijamy starty energii to ciepło pobrane potrzebne na stopienie lodu o podanej temperaturze równe jest energii kinetycznej tej kulki w chwili uderzenia w ziemię. Wówczas prędkość tej kulki ma postać:

$E_k=Q_{\text{pobrane}}$  

$\frac{m{v}_2^2}{2}=m\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)\mid \cdot 2$

$m{v}_2^2=2m\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)\mid :m$

$v_2^2=2\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)$

$v_2^2=2\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)\cdot \frac{k}{k}$

$v_2^2=k\cdot \frac{2\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)}{k}\mid \sqrt{}$

$v_2=\sqrt{k\cdot \frac{2\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)}{k}}$

$v_2=\sqrt{k}\cdot \sqrt{\frac{2\left(c_l\left(T_0-T\right)+L\right)}{k}}$

$v_2=\sqrt{k}\cdot v$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_2\approx \sqrt{0,5}\cdot 1192\frac{m}{s}\approx 0,7071\cdot 1192\frac{m}{s}=842,8632\frac{m}{s}\approx 843\frac{m}{s}$  

Odp.: Kulka powinna uderzyć w ziemię z prędkością równą około  $843\frac{m}{s}.$