Dane:

Początkowa prędkość cząstki:  $v_1=v$  

Końcowa prędkość cząsteczki:  $v_2=\frac{v}{4}$  

Szukane:

Zmiana energii kinetycznej:  $\overline{E_{k2}}=?$  

Zmiana ciśnienia:  $p_2=?$  

Zmiana temperatury:  $T_2=?$  

Rozwiązanie:

Zmiana energii kinetycznej

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Z tego wynika, że początkowa energia kinetyczna cząsteczki gazu wynosiła:

$\overline{E_{k1}}=\frac{m{v}_1^2}{2}$  

$\overline{E_{k1}}=\frac{m{v}^2}{2}$  

Natomiast energia kinetycznej po zmianie prędkości ma postać:

$\overline{E_{k2}}=\frac{m{v}_2^2}{2}$  

$\overline{E_{k2}}=\frac{m{\left(\frac{v}{4}\right)}^2}{2}$  

$\overline{E_{k2}}=\frac{1}{16}\cdot \frac{m{v}^2}{2}$  

$\overline{E_{k2}}=\frac{1}{16}\overline{E_{k1}}$  

 

Zmiana ciśnienia

 

Podstawowym wzorem z teorii kinetyczno - molekularnej jest wzór opisujący ciśnienie gazu:

$p=\frac{2n}{3V}\overline{E_k}$  

gdzie p jest ciśnieniem, n jest liczbą cząsteczek gazu, V jest objętością gazu, E_k jest średnią energia kinetyczną. Z tego wynika, że ciśnienie początkowe gazu będzie miało postać:

$p_1=\frac{2n}{3V}\overline{E_{k1}}$  

Natomiast ciśnienie po zmianie prędkości będzie miało postać:

$p_2=\frac{2n}{3V}\overline{E_{k2}}$  

$p_2=\frac{2n}{3V}\cdot \frac{1}{16}\overline{E_{k2}}$  

$p_2=\frac{1}{16}\frac{2n}{3V}\overline{E_{k2}}$  

$p_2=\frac{1}{16}{p}_1$  

Zmiana temperatury

Średnią energię kinetyczną cząsteczki gazy przedstawiamy wzorem:

$\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$  

gdzie k jest stałą Boltzmanna, T jest temperaturą gazu. Wówczas temperaturę poczatkową gazu przedstawimy wzorem:

$\frac{3}{2}k{T}_1=\overline{E_{k1}}\mid \cdot 2$  

$3k{T}_1=2\overline{E_{k1}}\mid :3k$  

$T_1=\frac{2\overline{E_{k1}}}{3k}$  

Wówczas temperatura gazu po oziębieniu będzie miała postać:

$\frac{3}{2}k{T}_2=\overline{E_{k2}}$  

$\frac{3}{2}k{T}_2=\frac{1}{16}\cdot \overline{E_{k1}}\mid \cdot 2$  

$3k{T}_2=\frac{1}{16}\cdot 2\overline{E_{k1}}\mid :3k$  

$T_2=\frac{1}{16}\cdot \frac{2\overline{E_{k1}}}{3k}$  

$T_2=\frac{1}{16}\cdot T_1$