Dane:

$k=400$  

$x=1\text{mm}={10}^{-3}\text{m}$  

$E_1=-13,6\text{eV}$  

 

$\text{a)}$  

W podpunkcie mamy dane:

$n=2$  

$\alpha ={31,8}^{\circ }$   

Szukane:

$\lambda =?$  

Rozwiązanie:

Wzór opisujący zależność długości fali na siatce dyfrakcyjnej ma postać:

$n\lambda =d\sin \alpha$  

gdzie:

$\lambda$  - długość fali padającej na siatkę dyfrakcyjną,

$d$  - współczynnik siatki,

$\alpha$  - kąt padania prążka na ekran, 

$n$  - numer prążka interferencyjnego. 

Stały współczynnik siatki dyfrakcyjnej jest stosunkiem długości siatki dyfrakcyjnej na do liczby rys znajdującej się na tej długości siatki:

$d=\frac{x}{k}$  

gdzie:

$d$  - stała siatki dyfrakcyjnej,

$x$  - długość

$k$  - liczba rys.

Wówczas długość fali światła padającego na siatkę dyfrakcyjną opiszemy wzorem:

$n\lambda =d\sin \alpha$  

$n\lambda =\frac{x}{k}\sin \alpha \mid :n$  

$\lambda =\frac{x}{nk}\sin \alpha$  

Oszacujmy wartość kąta $\alpha$  . Zauważmy, że:

$\alpha ={31,8}^{\circ }$  

$\alpha ={31}^{\circ }+{0,8}^{\circ }$  

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\sin {31}^{\circ }=0,515$  

$\sin {32}^{\circ }=0,5299$  

Korzystając z metody proporcji możemy zapisać, że:

$\sin {32}^{\circ }-\sin {31}^{\circ }\frac{}{}{1}^{\circ }$  

$\sin \alpha -\sin {31}^{\circ }\frac{}{}{0,8}^{\circ }$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$\sin \alpha -\sin {31}^{\circ }=\left(\sin {32}^{\circ }-\sin {31}^{\circ }\right)\cdot \frac{{0,8}^{\circ }}{1^{\circ }}$  

$\sin \alpha -0,515=\left(0,5299-0,515\right)\cdot 0,8$  

$\sin \alpha -0,515=0,0149\cdot 0,8$  

$\sin \alpha -0,515=0,01192\mid +0,515$  

$\sin \alpha =0,52692$  

Z tego wynika, że:

$\sin {31,8}^{\circ }=0,52692$  

Podstawiamy dane do wzoru na długość fali:

$\lambda =\frac{{10}^{-3}\text{m}}{2\cdot 400}\cdot \sin {31,8}^{\circ }=\frac{{10}^{-3}\text{m}}{800}\cdot 0,52692=$              

$=0,00125\cdot {10}^{-3}\text{m}\cdot 0,52692=1,25\cdot {10}^{-6}\text{m}\cdot 0,52692=$              

$=0,65865\cdot {10}^{-6}\text{m}=658,65\cdot {10}^{-9}\text{m}\approx 659\text{nm}$    

Korzystając z załączonego rysunku widma możemy odczytać, że jest to barwa czerwona.

 

$\text{b)}$  

Zgodnie ze wzorem Rydberga mamy zależność:

$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)$  

gdzie:

$\lambda$  - długość fali wyemitowanej w wyniku przejścia,

$R=1,097\cdot {10}^7\frac{1}{\text{m}}$  - stała Rydberga,

$m$  - numer serii linii widmowej, 

$n$  - numer linii widmowej. 

Wiemy, że:

$m=2$  

Wyznaczmy numer orbity, z której przeskoczył elektron:

$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)$  

$\frac{1}{\lambda }=\frac{R}{4}-\frac{R}{n^2}\mid \cdot 4n^2\lambda$  

$\frac{4n^2\lambda }{\lambda }=\frac{4n^2\lambda R}{4}-\frac{4n^2\lambda R}{n^2}$  

$4n^2=n^2\lambda R-4\lambda R\mid +4\lambda R-4n^2$  

$4\lambda R=n^2\lambda R-4n^2$  

$4\lambda R=\left(\lambda R-4\right)n^2\mid :\left(\lambda R-4\right)$  

$\frac{4\lambda R}{\lambda R-4}=n^2$  

$n^2=\frac{4\lambda R}{\lambda R-4}\mid \sqrt{}$  

$n=\sqrt{\frac{4\lambda R}{\lambda R-4}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\sqrt{\frac{4\cdot 658,65\cdot {10}^{-9}\text{m}\cdot 1,097\cdot {10}^7\frac{1}{\text{m}}}{658,65\cdot {10}^{-9}\text{m}\cdot 1,097\cdot {10}^7\frac{1}{\text{m}}-4}}=$  

$=\sqrt{\frac{2890,1562\cdot {10}^{-2}}{722,53905\cdot {10}^{-2}-4}}=\sqrt{\frac{28,901562}{7,2253905-4}}=$  

$=\sqrt{\frac{28,901562}{3,2253905}}\approx \sqrt{9}=3$  

W atomie wodoru dozwolone wartości energii oblicza się ze wzoru:

$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$  

gdzie:

$E_0=13,6\text{eV}$  - bezwzględna wartość energii na pierwszej orbicie, 

$n$  - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna). 

Znamy energię na pierwszej orbicie, czyli:

$E_0=-E_1$  

Zatem energia na trzecim poziomie wynosi:

$E_3=-\frac{E_0}{3^2}$  

$E_3=-\frac{-E_1}{9}$  

$E_3=\frac{E_1}{9}$  

$E_3=\frac{-13,6\text{eV}}{9}\approx -1,51\text{eV}$