Dane:

$E_1=-13,6\text{eV}$    

$E_2=-3,4\text{eV}$  

$\Delta E=2,55\text{eV}$  

 

$\text{a)}$    

Szukane:

$n=?$  

$\frac{r_n}{r_2}=?$  

Rozwiązanie:

Elektron początkowo znajdował się na drugiej orbicie, gdzie posiadał energię $E_2$ . Następnie pochłonął kwant energii $\Delta E$ , przez co znalazł się na pewnej orbicie $n$ . Zatem energię pochłoniętą przez atom wodoru możemy przedstawić jako różnicę pomiędzy energią na orbicie, na którą elektron przeszedł, a energią na drugiej orbicie:

$\Delta E=E_n-E_2$  

W atomie wodoru dozwolone wartości energii oblicza się ze wzoru:

$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$  

gdzie:

$E_0=13,6\text{eV}$  - bezwzględna wartość energii na pierwszej orbicie, 

$n$  - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna). 

Wówczas numer orbity, na którą przeszedł elektron będzie miał postać:

$\Delta E=E_n-E_2\mid +E_2$  

$\Delta E+E_2=E_n$  

$\Delta E+E_2=-\frac{E_0}{n^2}\mid \cdot n^2$  

$\left(\Delta E+E_2\right)n^2=-E_0\mid :\left(\Delta E+E_2\right)$  

$n^2=-\frac{E_0}{\Delta E+E_2}\mid \sqrt{}$  

$n=\sqrt{-\frac{E_0}{\Delta E+E_2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\sqrt{-\frac{13,6\text{eV}}{2,55\text{eV}-3,4\text{eV}}}=\sqrt{-\frac{13,6\text{eV}}{-0,85\text{eV}}}=\sqrt{16}=4$  

Długość promienia orbity dozwolonej w atomie wodoru możemy przedstawić za pomocą wzory:

$r_n=n^2{r}_1$  

gdzie:

$r_1=5,3\cdot {10}^{-11}\text{m}$  - długość promienia pierwszej orbity w atomie wodoru,

$n$  - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna). 

Otrzymaliśmy, że elektron przeszedł na czwartą orbitę, czyli mamy długość promienia tej orbity równą:

$r_n=4^2\cdot r_1$  

$r_n=16r_1$  

Na drugiej orbicie długość promienia miała postać:

$r_2=2^2\cdot r_1$  

$r_2=4r_1$  

Obliczamy ile razy zwiększył się promień orbity:

$\frac{r_n}{r_2}=\frac{16r_1}{4r_1}=4$  

Odpowiedź: Po pochłonięciu kwantu energii elektron znalazł się na czwartej orbicie. Promień orbity wzrósł 4 razy. 

 

$\text{b)}$  

Szukane:

$\lambda =?$  

Rozwiązanie:

Elektron powraca na poziom podstawowy, czyli na poziom pierwszy. Oznacza to, że energia wyemitowana przy powrocie elektronu będzie miała postać:

$\Delta E_{4\to 1}=E_n-E_1$  

$\Delta E_{4\to 1}=\Delta E+E_2-E_1$  

Energię fotonu o podanej długości fali możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$  

gdzie:

$h=6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}=4,14\cdot {10}^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}$  - stała Plancka, 

$c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$  - wartość prędkości światła, 

$\lambda$  - długość fali padającego promieniowania. 

Wówczas długość wyemitowanej w tym przejściu fali możemy przedstawić wzorem:

$\Delta E_{4\to 1}=\frac{hc}{\lambda }\mid \cdot \lambda$  

$\lambda \Delta E_{4\to 1}=hc\mid :\Delta E_{4\to 1}$  

$\lambda =\frac{hc}{\Delta E_{4\to 1}}$  

$\lambda =\frac{hc}{\Delta E+E_2-E_1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\lambda =\frac{4,14\cdot {10}^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2,55\text{eV}-3,4\text{eV}-\left(-13,6\text{eV}\right)}=\frac{12,42\cdot {10}^{-7}\text{eV}\cdot \text{m}}{2,55\text{eV}-3,4\text{eV}+13,6\text{eV}}=$  

$=\frac{12,42\cdot {10}^{-7}\text{eV}\cdot \text{m}}{12,75\text{eV}}\approx 0,974\cdot {10}^{-7}\text{m}=97,4\cdot {10}^{-9}\text{m}=97,4\text{nm}$  

Odpowiedź: Przy powrocie elektronu na poziom podstawowy wyemitowana została fala o długości około 97,4 nm.