$a)$  

 

$b)$  

Cały układ xy został przesunięty o wektor ā. Oznacza to, że powstały układ x'y' będzie miał punkt A o współrzędnych:

$A=\left(4,3\right)$  

 

Punkt B względem układu współrzędnych x'y' będzie miał współrzędne:

$B=\left[\text{(4+3),(3+1)}\right]=\left(7,4\right)$       

$c)$  

Prędkość mrówki:

$\overrightarrow{v}=\left[3,1\right]$  

Prędkość wózka:

$\overrightarrow{u}=\left[-3,1\right]$  

Prędkość mrówki z punktu widzenia nieruchomego obserwatora  będzie sumą prędkości mrówki i wózka: 

$\overrightarrow{v_m}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$  

$\overrightarrow{v_m}=\left[3,1\right]+\left[-3,1\right]=\left[3-3,1+1\right]=\left[0,2\right]$     

 

$d)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$A=\left(x_A,y_A\right)=\left(0,0\right)$  

$B=\left(x_B,y_B\right)=\left(3,1\right)$  

$C=\left(x_C,y_C\right)=\left(1,2\right)$  

$D=\left(x_D,y_D\right)=\left(2,2\right)$    

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Przemieszczenie jest wektorem łączącym położenie początkowe o końcowe. Wektor przemieszczenia będzie miał postać:

$\overrightarrow{AB}=\left(x_B,y_B\right)-\left(x_A,y_A\right)$  

$\overrightarrow{AB}=\left(3,1\right)-\left(0,0\right)=\left(3,1\right)$   

Tor ruchu jest krzywą która przebiega przez punkt A, C, D, B.

Droga jest wielkością skalarną równą torowi ruchu. W naszym przypadku droga będzie sumą odcinków: |AC|, |CD|, |DB|. Długości poszczególnych odcinków obliczymy z wzorów:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}$    

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(x_D-x_C\right)}^2+{\left(y_D-y_C\right)}^2}$  

$\left|DB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_D\right)}^2+{\left(y_B-y_D\right)}^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$  

  $\left|CD\right|=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(2-2\right)}^2}=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}=1$  

$\left|DB\right|=\sqrt{{\left(3-2\right)}^2+{\left(1-2\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$  

Wówczas całkowita droga przebyta przez mrówkę wynosi:

$s=\left|AC\right|+\left|CD\right|+\left|DB\right|$  

$s=\sqrt{5}+1+\sqrt{2}$