$\text{Dane:}$  

$\text{d}=20\text{cm}=0,2\text{m}$   

$\text{h}=3\text{m}$  

$\text{g}=\text{?}$  

 

$\text{a)}$  

gdy leży ona na szczycie pagórka	energia potencjalna grawitacji
gdy stacza się po zboczu	energia kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego oraz energia potencjalna grawitacji
gdy znajduje się u podnóża pagórka	energia kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego

 

$\text{b)}$  

$\text{Szukane:}$  

$\omega =\text{?}$  

$\text{v}=\text{?}$  

$\text{Rozwiązanie:}$  

Korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej ruchu złożonego (obrotowego i postępowego):

${\text{E}}_{\text{p}}={\text{E}}_{\text{k ruchu postępowego}}+{\text{E}}_{\text{k ruchu obrotowego}}$  

$\text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{h}=\frac{1}{2}\cdot \text{m}\cdot {\text{v}}^2+\frac{1}{2}\cdot \text{I}\cdot {\omega }^2$  

Dla obracającej się sfery jest spełniona relacja:

$\text{I}\cdot {\omega }^2=\frac{2}{3}\cdot \text{m}\cdot {\text{v}}^2$  

Możemy więc zapisać:

$\sout{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{h}=\frac{1}{2}\cdot \sout{\text{m}}\cdot {\text{v}}^2+\frac{1}{\sout{2}}\cdot \frac{\sout{2}}{3}\cdot \sout{\text{m}}\cdot {\text{v}}^2\text{/: m}$    

$\text{g}\cdot \text{h}=\frac{1}{2}\cdot {\text{v}}^2+\frac{1}{3}\cdot {\text{v}}^2$  

$\text{g}\cdot \text{h}={\text{v}}^2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\right)$  

$\text{g}\cdot \text{h}={\text{v}}^2\cdot \frac{5}{6}$  

${\text{v}}^2=\frac{6}{5}\cdot \text{g}\cdot \text{h}\text{/}\cdot \sqrt{}$  

$\text{v}=\sqrt{\frac{6}{5}\cdot \text{g}\cdot \text{h}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy prędkość liniową piłki:

$\text{v}=\sqrt{\frac{6}{5}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 3\text{m}}$  

$\text{v}=6\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Na koniec obliczamy prędkość kątową piłki:

$\omega =\frac{\text{v}}{\text{r}}=\frac{\text{v}}{\frac{1}{2}\cdot \text{d}}=\frac{6\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{2}\cdot 0,2\text{m}}$  

$\omega =60\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Prędkość kątowa piłki tuż po stoczeniu się ze zbocza wynosiła 6 m/s, a prędkość kątowa jej środka wynosiła wówczas 60 rad/s.