Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R=0,1\Omega$  

$l=0,3m$  

$B=1\cdot {10}^{-2}T$  

$v=0,5\frac{m}{s}$  

 

$a)$  

Napięcie pomiędzy szynami możemy przedstawić wzorem:

$U=B\cdot v\cdot l$  

gdzie $U$  jest napięciem pomiędzy szynami, $B$  jest wartością indukcji pola magnetycznego w jakim znajduje się pręt, $v$  jest szybkością z jaką porusza się pręt, $l$  jest długością pręta.

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U=R\cdot I$

gdzie $U$  jest napięciem, $I$  jest natężeniem, $R$  jest oporem.

Wówczas otrzymujemy, że natężenie prądu płynącego w obwodzie złożonym z opornika, pręta i szyn ma postać:

$U=B\cdot v\cdot l$  

$R\cdot I=B\cdot v\cdot l\mid :R$  

$I=\frac{B\cdot v\cdot l}{R}$    

Siła działająca na pręt to siła elektrodynamiczna. Siłę elektrodynamiczną opisujemy za pomocą wzoru:

${\overrightarrow{F}}_e=I\cdot \overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$

gdzie ${\overrightarrow{F}}_e$  jest siłą elektrodynamiczną działająca na przewodnik o długości $\overrightarrow{l}$  umieszczony w polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ , przez który przepływa prąd o natężeniu $I$ .

Siła, która musi równoważyć siłę elektrodynamiczną tak, by pręt poruszał się ze stałą szybkością będzie skierowana przeciwnie do siły elektrodynamicznej i będzie miała wartość równą wartości siły elektrodynamicznej. Zauważmy, że linie pola magnetycznego skierowane są prostopadle do pręta. Otrzymujemy wówczas, że:

${\overrightarrow{F}}_e=I\cdot \overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$  

$F_e=I\cdot l\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$

$F_e=I\cdot l\cdot B\cdot 1$  

$F_e=I\cdot l\cdot B$  

$F=F_e$  

$F=I\cdot l\cdot B$  

$F=\frac{B\cdot v\cdot l}{R}\cdot l\cdot B$  

$F=\frac{B^2\cdot v\cdot l^2}{R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F=\frac{{\left(1\cdot {10}^{-2}T\right)}^2\cdot 0,5\frac{m}{s}\cdot {\left(0,3m\right)}^2}{0,1\Omega }=\frac{{10}^{-4}{T}^2\cdot 0,5\frac{m}{s}\cdot 0,09m^2}{0,1\Omega }=$   

$=\frac{{10}^{-4}{\left(\frac{N}{A\cdot m}\right)}^2\cdot 0,5\frac{m}{s}\cdot 0,09m^2}{0,1\Omega }=\frac{{10}^{-4}\frac{N^2}{A^2\cdot m^2}\cdot 0,5\frac{m}{s}\cdot 0,09m^2}{{10}^{-1}\Omega }=$   

$=\frac{0,045\cdot {10}^{-4}\frac{N^2\cdot m}{A^2\cdot s}}{{10}^{-1}\Omega }=0,045\cdot {10}^{-3}N\cdot \frac{N\cdot m}{A^2\cdot s\cdot \Omega }=$  

$=4,5\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-3}N\cdot \frac{N\cdot m}{A^2\cdot s\cdot \frac{V}{A}}=4,5\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-3}N\cdot \frac{N\cdot m}{A\cdot s\cdot V}=$  

$=4,5\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-3}N\cdot \frac{\text{kg}\cdot \frac{m}{s^2}\cdot m}{A\cdot s\cdot \frac{\text{kg}\cdot m^2}{A\cdot s^3}}=4,5\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-3}N\cdot \frac{\text{kg}\cdot \frac{m}{s^2}\cdot m}{\text{kg}\cdot \frac{m}{s^2}\cdot m}=$  

$=4,5\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-3}N$  

 

$b)$  

Korzystając z reguły lewej ręki wyznaczamy kierunek przepływu prądu w metalowym pręcie, pamiętając że płynącymi ładunkami są ujemne elektrony. 

Wykonajmy uproszczony schemat, na którym zaznaczymy kierunek przepływu prądu w obwodzie:

 

$c)$  

Na poruszający się pręt działa siła. Pręt porusza się równolegle do kierunku działającej siły, czyli układ wykonuje pracę:

$W=F\cdot s$  

gdzie $W$  jest pracą wykonaną przez poruszający się pręt, na który działa siła o wartości $F$  i pokona on drogę o długości $s$ .

Zauważmy, że energia wydzielona na układzie będzie miała postać:

$E=F\cdot s$  

$E=B\cdot I\cdot l\cdot s$  

gdzie $l$  jest długością pręta.

Energia w obwodzie powstaje dzięki ruchowi pręta. Obliczmy moc wydzielana na oporniku.

Moc obwodu przedstawiamy wzorem:

$P=I\cdot U$

gdzie $P$  jest mocą urządzenia elektrycznego podłączonego do napięcia $U$ , przez które przepływa prąd o natężeniu $I$ .

Wówczas otrzymujemy, że moc wydzielona na oporniku będzie miała postać:

$P=I\cdot U$  

$P=I\cdot R\cdot I$  

$P=I^2\cdot R$  

$P={\left(\frac{B\cdot v\cdot l}{R}\right)}^2\cdot R$  

$P=\frac{{\left(B\cdot v\cdot l\right)}^2}{R^2}\cdot R$  

$P=\frac{{\left(B\cdot v\cdot l\right)}^2}{R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P=\frac{{\left(1\cdot {10}^{-2}T\cdot 0,5\frac{m}{s}\cdot 0,3m\right)}^2}{0,1\Omega }=\frac{{\left(1\cdot {10}^{-2}\frac{N}{A\cdot m}\cdot 0,5\frac{m}{s}\cdot 0,3m\right)}^2}{0,1\Omega }=$  

$=\frac{{\left(0,15\cdot {10}^{-2}\frac{N\cdot m}{A\cdot s}\right)}^2}{{10}^{-1}\Omega }=\frac{0,0225\cdot {10}^{-4}\frac{N^2\cdot m^2}{A^2\cdot s^2}}{{10}^{-1}\Omega }=$  

$=0,0225\cdot {10}^{-3}\frac{N^2\cdot m^2}{A^2\cdot s^2\cdot \Omega }=22,5\cdot {10}^{-6}\frac{{\text{kg}}^2\cdot \frac{m^2}{s^4}\cdot m^2}{A^2\cdot s^2\cdot \Omega }=$  

$=22,5\cdot {10}^{-6}\frac{{\text{kg}}^2\cdot m^4}{A^2\cdot s^6}\cdot \frac{1}{\Omega }=22,5\cdot {10}^{-6}{\left(\frac{\text{kg}\cdot m^2}{A\cdot s^3}\right)}^2\cdot \frac{1}{\Omega }=$  

$=22,5\cdot {10}^{-6}{V}^2\cdot \frac{1}{\Omega }=22,5\cdot {10}^{-6}V\cdot \frac{V}{\Omega }=22,5\cdot {10}^{-6}V\cdot A=$

$=22,5\cdot {10}^{-6}W=22,5\mu W$