$\text{a)}$  

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$I=2A$  

$a=1m$  

Przyjmujemy, że stała magnetyczna wynosi:

${\mu }_0=4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}$  

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w odległości $r$  od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot r}$

gdzie $B$  jest wartością indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi przewodnik, przez który przepływa prąd o natężeniu $I$  w odległości $r$  od tego przewodnika, ${\mu }_0$  jest stałą magnetyczną.

Z zadania wiemy, że każdym przewodniku płynie prąd o takim samym natężeniu:

$I_1=I_2=I_3=I_4=I$  

Zauważmy, że odległość każdego przewodnika od punktu A jest taka sama:

$r_1=r_2=r_3=r_4=r$  

Odległość ta jest połową przekątnej kwadratu o boku a:

$r=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot a$  

$r=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a$  

Jeżeli natężenie prądu w przewodniku oraz odległość przewodnika od punktu, w którym badamy indukcję magnetyczną ma takie same wartości dla każdego przewodnika, to indukcja magnetyczna pochodząca od każdego przewodnika jest taka sama:

$B_1=B_2=B_3=B_4=B{}^{\prime }$  

Wówczas:

$B{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a}$  

$B{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot a}$  

Wykonajmy rysunek:

Korzystając z rysunku zauważmy, że wypadkowa indukcja magnetyczna jest przekątną kwadratu, którego bok jest równy dwóm wektorom indukcji magnetycznej pochodzącej od jednego z przewodników:

$B=2\cdot \sqrt{2}\cdot B{}^{\prime }$  

$B=2\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot a}$  

$B=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot a}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{2\cdot 4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}\cdot 2A}{\pi \cdot 1m}=\frac{16\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A}}{1m}=16\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A\cdot m}=1,6\cdot {10}^{-6}T$  

 

$\text{b)}$  

Wykonajmy rysunek:

Zauważmy, że wektory B₂ i B₃ mają taki sam kierunek i wartości, lecz przeciwne zwroty. Oznacza to, że ich wypadkowa wynosi zero, dlatego możemy pominąć je w dalszych rozważaniach. Obliczmy odległość przewodników 4 i 1 od punktu A. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa:

$r_{1,4}^2=a^2+{\left(\frac{1}{2}\cdot a\right)}^2$  

$r_{1,4}^2=a^2+\frac{1}{4}\cdot a^2$  

$r_{1,4}^2=\frac{5}{4}\cdot a^2\mid \sqrt{}$  

$r_{1,4}=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot a$    

Wówczas indukcja magnetyczna pochodząca od przewodnika 4 i 1 będzie miała postać:

$B_1=B_4=\frac{{\mu }_o\cdot I}{2\cdot \pi \cdot r_{1,4}}$  

$B_1=B_4=\frac{{\mu }_o\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot a}$  

$B_1=B_4=\frac{{\mu }_o\cdot I}{\sqrt{5}\cdot \pi \cdot a}$  

$B{}^{\prime }=\frac{{\mu }_o\cdot I}{\sqrt{5}\cdot \pi \cdot a}$       

Zauważmy, że wypadkowa indukcja magnetyczna jest dwukrotnością długości dłuższego boku trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych x oraz połowie z x i przeciwprostokątnej o długości równej wektorowi indukcji magnetycznej pochodzącej od poszczególnych przewodników.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość $x$ :

$x^2+{\left(\frac{1}{2}\cdot x\right)}^2=B{{}^{\prime }}^2$  

$x^2+\frac{1}{4}\cdot x^2=B{{}^{\prime }}^2$  

$\frac{5}{4}\cdot x^2=B{{}^{\prime }}^2\mid \cdot \frac{4}{5}$  

$x^2=\frac{4}{5}\cdot B{{}^{\prime }}^2\mid \sqrt{}$  

$x=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot B{}^{\prime }$  

Wówczas wypadkowa indukcja magnetyczna będzie miała postać:

$B=2\cdot x$  

$B=2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot B{}^{\prime }$  

$B=2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{{\mu }_o\cdot I}{\sqrt{5}\cdot \pi \cdot a}$  

$B=\frac{4}{5}\cdot \frac{{\mu }_o\cdot I}{\pi \cdot a}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{4}{5}\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}\cdot 2A}{\pi \cdot 1A}=\frac{4}{5}\cdot \frac{8\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A}}{1A}=\frac{4}{5}\cdot 8\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A\cdot m}=6,4\cdot {10}^{-7}T$