$\text{a)}$  

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$I_1=2A$  

$I_2=4A$  

$d=50cm=0,5m$  

Z tablic fizycznych odczytujemy, że stała magnetyczna ma postać:

${\mu }_0=4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}$  

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że:

$r_1=2\cdot d$  

$r_2=d$  

Wypadkowy wektor indukcji magnetycznej jest sumą wektorów indukcji pochodzących od poszczególnych przewodników:

$B=B_1+B_2$  

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w odległości $r$  od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot r}$

gdzie $B$  jest wartością indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi przewodnik, przez który przepływa prąd o natężeniu $I$  w odległości  $r$   od tego przewodnika, ${\mu }_0$  jest stałą magnetyczną.

Indukcja magnetyczna pochodząca od poszczególnych przewodników będzie miała postać:

▶ dla pierwszego:

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot r_1}$  

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot 2\cdot d}$  

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{4\cdot \pi \cdot d}$  

▶ dla drugiego:

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot r_2}$  

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot d}$  

Wówczas całkowita indukcja magnetyczna w punkcie A będzie miała postać:

$B=B_1+B_2$  

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{4\cdot \pi \cdot d}+\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot d}$   

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{4\cdot \pi \cdot d}+\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I_2}{4\cdot \pi \cdot d}$  

$B=\frac{{\mu }_0}{4\cdot \pi \cdot d}\cdot \left(I_1+2\cdot I_2\right)$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}}{4\cdot \pi \cdot 0,5m}\cdot \left(2A+2\cdot 4A\right)=\frac{{10}^{-7}\frac{N}{A^2}}{0,5m}\cdot \left(2A+8A\right)=2\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2\cdot m}\cdot 10A=$  

$=2\cdot {10}^{-6}\frac{N}{A\cdot m}=2\cdot {10}^{-6}T$      

Zaznaczmy na rysunku:

 

$\text{b)}$  

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$I_1=I_2=I=2A$

$d=40cm=0,4m$   

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że:

$r_1=r_2=d$  

Indukcja magnetyczna pochodząca od poszczególnych przewodników będzie miała postać:

▶ dla pierwszego:

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot r_1}$   

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot d}$   

▶ dla drugiego:

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot r_2}$  

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot d}$  

Oznacza to, że:

$B_1=B_2$  

Ponadto widzimy, że:

gdzie trójkąt ABC ma kąty wewnętrzne o mierze 30^o, 30^o i 120^o. Wówczas całkowita indukcja magnetyczna w punkcie A będzie miała postać:

$B=B_1=B_2$

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot d}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}\cdot 2A}{2\cdot \pi \cdot 0,4m}=\frac{8\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A}}{0,8m}=10\cdot {10}^{-7}\frac{N}{A\cdot m}={10}^{-6}T$   

 

$\text{c)}$  

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$I_1=1A$  

$I_2=2A$  

$I_3=3A$

$d=1m$    

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że odległości przewodników od punktu A w każdym przypadku są takie same. Wiemy, że punkt przecięcia się wysokości w trójkącie równobocznym dzieli tę wysokość w stosunku 1:2. Z tego wynika, że:

$r_1=r_2=r_3=\frac{1}{3}\cdot h$  

gdzie h jest wysokością trójkąta równobocznego i możemy zapisać ją wzorem:

$h=\frac{d\cdot \sqrt{3}}{2}$    

Z tego wynika, że:

$r_1=r_2=r_3=\frac{1}{3}\cdot h$  

$r_1=r_2=r_3=\frac{1}{3}\cdot \frac{d\cdot \sqrt{3}}{2}$  

$r_1=r_2=r_3=\frac{d\cdot \sqrt{3}}{6}$  

Wypadkowy wektor indukcji magnetycznej będzie miał postać:

$B=B_1+B_2-B_3$    

Indukcja magnetyczna pochodząca od poszczególnych przewodników będzie miała postać: 

▶ dla pierwszego: 

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot r_1}$  

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot \frac{d\cdot \sqrt{3}}{6}}$  

$B_1=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_1}{\pi \cdot d}$  

$B_1=\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_1}{\pi \cdot d}$  

▶ dla drugiego:

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot r_2}$  

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot \frac{d\cdot \sqrt{3}}{6}}$  

$B_2=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_2}{\pi \cdot d}$  

$B_2=\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_2}{\pi \cdot d}$  

▶ dla trzeciego

$B_3=\frac{{\mu }_0\cdot I_3}{2\cdot \pi \cdot r_3}$

$B_3=\frac{{\mu }_0\cdot I_3}{2\cdot \pi \cdot \frac{d\cdot \sqrt{3}}{6}}$

$B_3=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_3}{\pi \cdot d}$

$B_3=\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_3}{\pi \cdot d}$

Wówczas całkowita indukcja magnetyczna w punkcie A będzie miała postać:

$B=B_1+B_2-B_3$  

$B=\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_1}{\pi \cdot d}+\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_2}{\pi \cdot d}-\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0\cdot I_3}{\pi \cdot d}$  

$B=\sqrt{3}\cdot \frac{{\mu }_0}{\pi \cdot d}\cdot \left(I_1+I_2-I_3\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\sqrt{3}\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}}{\pi \cdot 1m}\cdot \left(1A+2A-3A\right)=\sqrt{3}\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot {10}^{-7}\frac{N}{A^2}}{\pi \cdot 1m}\cdot 0A=0\frac{N}{A\cdot m}=0T$

Zaznaczmy na rysunku: