Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$I_1=I$  

$I_2=2\cdot I$  

Niech odległość pomiędzy dwoma przewodnikami wynosi $r$ . 

 

$\text{a)}$  

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w odległości $d$  od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot d}$

gdzie $B$  jest wartością indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi przewodnik, przez który przepływa prąd o natężeniu $I$  w odległości $d$  od tego przewodnika, ${\mu }_0$  jest stałą magnetyczną.

Punkt P leży w jednakowych odległościach od przewodników, czyli:

$d=\frac{1}{2}r$  

Wówczas w punkcie P, gdzie odległość od przewodnika 1 wynosi $d$  wartość indukcji magnetycznej pochodzącej od pierwszego przewodnika ma postać:

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{2\cdot \pi \cdot d}$  

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}$  

$B_1=\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Natomiast wartość indukcji magnetycznej pochodzącej od przewodnika 2 ma postać:

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2}{2\cdot \pi \cdot d}$  

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}$  

$B_2=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Zauważmy, że całkowity wektor indukcji pola magnetycznego w punkcie P wynosi:

$B=B_1+B_2$  

$B=\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B=\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Wówczas wektor indukcji magnetycznej pochodzącej od przewodnika 1 w zależności od całkowitej indukcji pola w punkcie P ma postać:

$\frac{B_1}{B}=\frac{\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$  

$\frac{B_1}{B}=\frac{1}{3}\mid \cdot B$  

$B_1=\frac{B}{3}$  

 

$\text{b)}$  

$\text{1.}$   

Natężenie prądu w przewodniku wzrasta 2 razy, a natężenie prądu w przewodniku 2 maleje 2 razy:

$I_1{}^{\prime }=2\cdot I_1\text{, czyli }{I}_1{}^{\prime }=2\cdot I$  

$I_2{}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot I_2\text{, czyli }{I}_2{}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot I\Rightarrow I_2{}^{\prime }=I$  

Wówczas indukcja pola magnetycznego pochodząca od poszczególnych przewodników w punkcie P będzie miała postać:

$B_1{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_1{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$   

$B_2{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_2{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Całkowita indukcja pola magnetycznego w tym punkcie będzie miała postać:

$B{}^{\prime }=B_1{}^{\prime }+B_2{}^{\prime }$   

$B{}^{\prime }=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Wówczas:

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$  

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=1\mid \cdot B$   

$B{}^{\prime }=B$  

---

$\text{2.}$   

Natężenie prądu w przewodniku wzrasta 2 razy, a natężenie prądu w przewodniku 2 nie ulegnie zmianie:

$I_1{}^{\prime }=2\cdot I_1\text{, czyli }{I}_1{}^{\prime }=2\cdot I$  

$I_2{}^{\prime }=I_2\text{, czyli }{I}_2{}^{\prime }=2\cdot I$  

Wówczas indukcja pola magnetycznego pochodząca od poszczególnych przewodników w punkcie P będzie miała postać:

$B_1{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_1{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B_2{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_2{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Całkowita indukcja pola magnetycznego w tym punkcie będzie miała postać:

$B{}^{\prime }=B_1{}^{\prime }+B_2{}^{\prime }$  

$B{}^{\prime }=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$   

Wówczas:

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$   

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{4}{3}\mid \cdot B$  

$B{}^{\prime }=\frac{4}{3}\cdot B$   

---

$\text{3.}$   

Natężenie prądu w przewodniku wzrasta 2 razy, a natężenie prądu w przewodniku 2 również wzrasta 2 razy:

$I_1{}^{\prime }=2\cdot I_1\text{, czyli }{I}_1{}^{\prime }=2\cdot I$  

$I_2{}^{\prime }=2\cdot I_2\text{, czyli }{I}_2{}^{\prime }=2\cdot 2\cdot I=4\cdot I$    

Wówczas indukcja pola magnetycznego pochodząca od poszczególnych przewodników w punkcie P będzie miała postać:

$B_1{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_1{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B_2{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_2{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 4\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Całkowita indukcja pola magnetycznego w tym punkcie będzie miała postać:

$B{}^{\prime }=B_1{}^{\prime }+B_2{}^{\prime }$  

$B{}^{\prime }=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{6\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$   

Wówczas:

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{\frac{6\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$   

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=2\mid \cdot B$  

$B{}^{\prime }=2\cdot B$