Dane:

$U=500V$  

$B={10}^{-2}T$  

Z tablic fizycznych odczytujemy, że masa i ładunek protonu wynoszą kolejno:

$m_p=1,672\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

$q_p=e=1,602\cdot {10}^{-19}\text{C}$  

Szukane:

$d=?$  

Rozwiązanie:

Energię kinetyczną cząstki przyspieszonej różnicą potencjałów przedstawiamy wzorem:

$E_k=q\cdot U$

gdzie $E_k$  jest energią kinetyczną cząstki o wartości ładunku $q$ , która przemieści się w polu o różnicy potencjału $U$ .

Energie kinetyczną możemy przedstawić również za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m\cdot v^2}{2}$

gdzie $E_k$  jest energią kinetyczną ciała o masie $m$  poruszającego się z szybkością $v$ .

Wyznaczmy wartość prędkości protonu porównując wzory na energię kinetyczną:

$\frac{m_p\cdot v^2}{2}=e\cdot U\mid \cdot 2$  

$m_p\cdot v^2=2\cdot e\cdot U\mid :m_p$  

$v^2=\frac{2eU}{m_p}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{2eU}{m_p}}$  

Na proton znajdujący się w polu magnetycznym działa siła Lorentza, która spełnia rolę siły dośrodkowej.

Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę wyrażona wzorem:

$\overrightarrow{F_L}=q\cdot \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$  

gdzie ${\overrightarrow{F}}_L$  jest siłą Lorentza, $\overrightarrow{v}$  jest prędkością liniową z jaką porusza się ładunek o wartości $q$  znajdujący się w polu o indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ .

Zauważmy, że wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły do wektora prędkości z jaką porusza się proton. Z tego wynika, że wartość siły Lorentza możemy przedstawić wzorem:

${\overrightarrow{F}}_L=e\cdot \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$

$F_L=e\cdot v\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$

$F_L=e\cdot v\cdot B\cdot 1$

$F_L=evB$  

Wartość siły dośrodkowej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}$

gdzie $F_d$  jest wartością siły dośrodkowej działającej na ciało o masie $m$  poruszające się z szybkością $v$  po okręgu o promieniu $r$ .

Porównajmy wzory na siły i wyznaczmy długość promienia okręgu po jakim porusza się cząstka:

$F_L=F_d$  

$e\cancel{v}B=\frac{m_p{v}^{\cancel{2}}}{r}\mid \cdot r$  

$eBr=m_{p}v\mid :eB$  

$r=\frac{m_{p}v}{eB}$  

$r=\frac{m_p\sqrt{\frac{2eU}{m_p}}}{eB}$  

$r=\frac{1}{B}\sqrt{m_p^2\frac{2eU}{m_p}\cdot \frac{1}{e^2}}$  

$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U{m}_p}{e}}$  

Wiemy, że średnica ma długość równą dwukrotności promienia. Z tego wynika, że średnica półokręgu jaki zatoczy proton ma postać:

$d=2r$  

$d=2\cdot \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U{m}_p}{e}}$  

$d=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2U{m}_p}{e}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{2}{{10}^{-2}T}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 500V\cdot 1,672\cdot {10}^{-27}\text{kg}}{1,602\cdot {10}^{-19}\text{C}}}=\frac{2}{{10}^{-2}T}\cdot \sqrt{\frac{1672\cdot {10}^{-27}V\cdot \text{kg}}{1,602\cdot {10}^{-19}\text{C}}}=$    

$=200\frac{1}{T}\cdot \sqrt{\frac{1672\cdot {10}^{-27}\frac{J}{\text{C}}\cdot \text{kg}}{1,602\cdot {10}^{-19}\text{C}}}\approx 200\frac{1}{\frac{N\cdot s}{\text{C}\cdot m}}\cdot \sqrt{1043,7\cdot {10}^{-8}\frac{J\cdot \text{kg}}{{\text{C}}^2}}=$    

$=200\frac{\text{C}\cdot m}{N\cdot s}\cdot \sqrt{1043,7\cdot {10}^{-8}\frac{\text{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot \text{kg}}{{\text{C}}^2}}=200\frac{\text{C}\cdot m}{N\cdot s}\cdot \sqrt{1043,7\cdot {10}^{-8}\frac{{\text{kg}}^2\cdot m^2}{{\text{C}}^2\cdot s^2}}=$  

$\approx 200\frac{C\cdot m}{N\cdot s}\cdot 32,3\cdot {10}^{-4}\frac{\text{kg}\cdot m}{\text{C}\cdot s}=200\frac{C\cdot m}{\text{kg}\cdot \frac{m}{s^2}\cdot s}\cdot 32,3\cdot {10}^{-4}\frac{\text{kg}\cdot m}{\text{C}\cdot s}=$  

$=200\frac{C\cdot s}{\text{kg}}\cdot 32,3\cdot {10}^{-4}\frac{\text{kg}\cdot m}{\text{C}\cdot s}=6460\cdot {10}^{-4}m=$  

$=0,646m\approx 64,6cm$