W obwodzie przedstawionym na rysunku do źródła o oporze...

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

`r_w = 1\ Omega` 

`R_1 = 50,5\ Omega` 

`R_2 = 300\ Omega` 

`R_3 = 200\ Omega` 

`R_4 = 600\ Omega` 

`C = 5\ muF = 5*10^-6\ F` 

`Q = 25\ mu"C" = 25*10^-6\ "C"` 

Wykonajmy schemat uproszczony układu:

Zauważmy, że oporniki 2, 3 i 4 połączone są równolegle. Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając  z wzoru:

`1/R_z = sum_(i=1)^n 1/R_i `

gdzie R_z jest oporem zastępczym, R_i jest oporem poszczególnych oporników, n jest liczbą oporników w układzie. Z tego wynika, że opór zastepczy oporników 2, 3, i 4 będzie miał postać:

`1/R_(2,3,4) = 1/R_2 + 1/R_3 + 1/R_4` 

`1/R_(2,3,4) = (R_3*R_4)/(R_2*R_3*R_4) + (R_2*R_4)/(R_2*R_3*R_4) + (R_2*R_3)/(R_2*R_3*R_4)` 

`1/R_(2,3,4) = (R_3*R_4 + R_2*R_4+R_2*R_3)/(R_2*R_3*R_4)` 

Z tego wynika, że:

`R_(2,3,4) = (R_2*R_3*R_4)/(R_3*R_4 + R_2*R_4+R_2*R_3)` 

Opornik 1 z układem oporników 2, 3, 4 połaczony jest szeregowo. Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

`R_z = sum_(i=1)^n R_i `

gdzie R_z jest oporem zastępczym, R_i jest oporem poszczególnych oporników, n jest liczbą oporników w układzie. Z tego wynika, że opór zastępczy całego układu będzie miał postać:

`R_z = R_1 + R_(2,3,4)` 

`R_z = R_1 + (R_2*R_3*R_4)/(R_3*R_4 + R_2*R_4+R_2*R_3)` 

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

`U = R*I ` 

gdzie U jest napięciem, I jest natężeniem, R jest oporem. Z tego wynika, że napięcie prądu na oporniku 1 bedzie miało postać:

`U_1 = R_1*I_1` 

Przez opornik 1 przepływa taki sam prąd cały układ:

`I_1 = I` 

Korzystając z prawa Ohma dla całego obwodu otrzymujemy wzór:

`I = ccE/(R+r) `

gdzie I jest natężeniem prądu płynącego przez obwód zamknięty o wartości siły elektromotorycznej ?, który ma opór wewnętrzny r i zewnętrzny R. Z tego wynika, że natężenie prądu w całym obwodzie będzie miało postać:

`I = ccE/(R_z+r)` 

Wówczas napięcie na oporniku 1 będzie miało postać:

`U_1 = R_1*I_1` 

`U_1 = R_1*I` 

`U_1 = R_1*ccE/(R_z+r)` 

Pojemność kondensatora obliczamy korzystajac z wzoru:

`C = Q/U ` 

gdzie C jest pojemnością kondensatora, na którym zgromadził się ładunek Q podłączonego do napięcia U. Z tego wynika, że napięcie na kondensatorze wynosi:

`U_c = Q/C` 

Ponieważ opornik 1 jest połączony równolegle z kondensatorem, to napięcie na oporniku 1 będzie takie samo jak napięcie na kondensatorze:

`U_1 = U_c`

`R_1*ccE/(R_z+r) = Q/C \ \ \ \ |*(R_z+r)` 

`R_1*ccE = Q/C*(R_z+r) \ \ \ \ \ \ \ |:R_1`  

`ccE = Q/C*(R_z+r)/R_1`  

`ccE = Q/C*(R_1 + (R_2*R_3*R_4)/(R_3*R_4 + R_2*R_4+R_2*R_3)+r)/(R_1)`  

`ccE = Q/C*( 1 +((R_2*R_3*R_4)/(R_3*R_4 + R_2*R_4+R_2*R_3))/R_1+r/R_1)` 

`ccE = Q/C*( 1 +(R_2*R_3*R_4)/(R_1*(R_3*R_4 + R_2*R_4+R_2*R_3))+r/R_1)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`ccE = (25*10^-6\ "C")/(5*10^-6\ F) * (1 + (300\ Omega * 200\ Omega * 600\ Omega)/(50,5\ Omega * (200\ Omega*600\ Omega + 300\ Omega*600\ Omega + 300\ Omega*200\ Omega)) + (1\ Omega)/(50,5\ Omega)) ~~ `  

`\ \ \ ~~ 5\ C/F * (1 + (36 000 000\ Omega^3)/(50,5\ Omega * (120000\ Omega^2 + 180000\ Omega^2 + 60000\ Omega^2 )) + 0,02) =5\ V * (1 + (36 000 000\ Omega^3)/(50,5\ Omega * 360000\ Omega^2) + 0,02)= ` 

`\ \ \ = 5\ V * (1 + (36 000 000\ Omega^3)/(18 180 000\ Omega^3) + 0,02) ~~ 5\ V * (1 +1,98 + 0,2 ) = 5\ V*3 = 15\ V`