$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest narysowanie układu zbudowanego przez uczniów, za pomocą którego wyznaczali opór wewnętrzny i siłę elektromotoryczną baterii. 

Idąc od lewej do prawej możemy zauważyć, że skorzystali oni z następujących elementów:

• źródło prądu (bateria, której szukamy SEM), 
• opornica suwakowa (ma zmienny opór), 
• amperomierz, 
• woltomierz, 
• przewody. 

Amperomierz wpina się szeregowo z elementami obwodu, aby zmierzyć natężenie prądu płynącego przez obwód. Woltomierz podpina się równolegle do elementu obwodu, na którym badamy spadek napięcia. 

Opornica suwakowa (czyli o zmiennej rezystancji) będąca oporem zewnętrznym jest tym elementem obwodu, który spełnia prawo Ohma. Zatem natężenie prądu płynącego przez tą opornicę będzie wprost proporcjonalne na spadku napięcia na tej opornicy. Wówczas równolegle do tej opornicy uczniowie musza podpiąć woltomierz i szeregowo z nią amperomierz.

Wykonajmy schemat obwodu zbudowanego przez uczniów:

 

$\mathbf{b})$

Naszym zadaniem jest wykonanie wykresu zależności napięcia od natężenia na podstawie danych podanych w tabeli. Następnie przy naniesionych punktach pomiarowych oznaczamy niepewności pomiaru, gdzie:

$\Delta U=\pm 0,15\text{V}$

$\Delta I=\pm 0,05\text{A}$

Na końcu dopasowujemy prostą do danych pomiarowych. 

Zacznijmy od naniesienia punktów z tabeli na papier milimetrowy:

Następnie nanosimy na wykres prostokąty niepewności pomiarowych:

 Na końcu dopasowujemy prostą najlepszego dopasowania, czyli taką, która przechodzi przez jak największą liczbą punktów pomiarowych. Musi ona również mieścić się, w prostokątach niepewności pomiarowych:

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$\mathcal{E}=?$

$r_w=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie siły elektromotorycznej i oporu wewnętrznego. 

Treść zadania sugeruje nam, że wartość siły elektromotorycznej możemy odczytać z wykresu. 

Korzystając z prawa Ohma dla całego obwodu otrzymujemy wzór:

$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r_w}$  

gdzie:

$I$ - natężenie prądu płynącego w całym obwodzie, 

$\mathcal{E}$ - wartość siły elektromotorycznej SEM, 

$R$ - opór zewnętrzny, 

$r_w$ - opór wewnętrzny. 

Wartość oporu zewnętrznego możemy przedstawić za pomocą zależności wynikającej z prawa Ohma:

$R=\frac{U}{I}$

gdzie:

$U$ - napięcie na oporze zewnętrznym,

$I$ - natężenie prądu płynącego prze opór zewnętrzny - odpowiada natężeniu prądu w całym obwodzie.  

Korzystając z powyższych zależności wyznaczmy zależność napięcia od natężenia, którą mamy przedstawioną na wykresie:

$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r_w}|\cdot \left(R+r_w\right)$

$I\left(R+r_w\right)=\mathcal{E}$

$I\left(\frac{U}{I}+r_w\right)=\mathcal{E}$

$U+r_{w}I=\mathcal{E}|-r_{w}I$

$U=-r_{w}I+\mathcal{E}$

Zauważmy, że zależność napięcia od natężenia jest funkcją liniową. Oznacza to, że zarówno wartość SEM, jak i oporu wewnętrznego możemy wyznaczyć odczytując z wykonanego wykresu dwa punkty, przez które przechodzi dopasowana prosta i rozwiązując układ równań. 

Zacznijmy od odczytania z wykresu dwóch dowolnych punktów, przez które przechodzi dopasowana prosta:

▶ punkt pierwszy:

$I_1=0,25\text{A}$

$U_1=3,40\text{V}$

▶ punkt drugi:

$I_2=1,10\text{V}$

$U_2=1,20\text{V}$

Otrzymamy wówczas równania:

$U_1=-r_w{I}_1+\mathcal{E}$

$U_2=-r_w{I}_2+\mathcal{E}$

Podstawmy do tych równań znane dane liczbowe z pominięciem jednostek układu SI i zapiszmy je w postaci układu równań, który następnie rozwiążemy:

$\{\begin{array}{l}3,40=-r_w\cdot 0,25+\mathcal{E}\\ 1,20=-r_w\cdot 1,10+\mathcal{E}|\cdot \left(-1\right)\end{array}$

$\frac{+\{\begin{array}{l}3,40=-0,25r_w+\mathcal{E}\\ -1,20=1,10r_w-\mathcal{E}\end{array}}{2,20=0,85r_r}$

$0,85r_w=2,20|:0,85$

$r_w=\frac{2,20}{0,85}\approx 2,5882\approx 2,6\left[\Omega \right]$

SEM będzie wówczas wynosiło:

$-0,25r_w+\mathcal{E}=3,40|+0,25r_w$

$\mathcal{E}=3,40+0,25r_w$

Podstawmy wyznaczoną wartość oporu wewnętrznego:

$\mathcal{E}\approx 3,40+0,25\cdot 2,6=3,40+0,65=4,05\left[\text{V}\right]$

Odpowiedź: Za pomocą wykresu wyznaczono, że SEM obwodu wynosiła około 4,05 V, a wartość oporu wewnętrznego to 2,6 Ω.

UWAGA!

Otrzymany wynik różni się od wyniku podanego w odpowiedziach, ponieważ można użyć różnych  danych do stworzenia układu równań. Również dopasowana prosta może być nieco inna niż ta przedstawiona w tym rozwiązaniu.

 

$\mathbf{d})$  

Szukane:

${\mathcal{E}}_{\min }=?$

${\mathcal{E}}_{\text{max}}=?$

${\mathcal{E}}_{\text{sˊr}}=?$

$\Delta \mathcal{E}=?$

$r_{w.\min }=?$

$r_{w.\max }=?$

$r_{w.\text{sˊr}}=?$

$\Delta r_w=?$

Rozwiązanie:

Korzystamy z metody graficznej. Na wykonanym wykresie rysujemy proste o maksymalnym i minimalnym nachyleniu. Proste te muszą być najbardziej skrajnymi prostymi, jakie mogą przechodzić przez punkty pomiarowe w granicach i niepewności. Zwróćmy również uwagę, że w tym przypadku mamy funkcje malejące, czyli dla maksymalnego współczynnika kierunkowego prostej otrzymamy maksymalny wyraz wolny. Analogicznie dla minimalnego współczynnika kierunkowego otrzymamy minimalny wyraz wolny :

Zacznijmy od prostej dopasowanej do maksymalnych współczynników. Odczytajmy dwa dowolne punktu, przez które przechodzi ta prosta:

▶ współrzędne punktu pierwszego dla maksymalnych współczynników:

$I_1=\left(0,25+0,05\right)\text{A}=0,30\text{A}$

$U_1=\left(3,40+0,15\right)\text{V}=3,55\text{V}$

▶ współrzędne punktu drugiego dla maksymalnych współczynników:

$I_2=\left(1,10-0,05\right)\text{A}=1,05\text{A}$

$U_2=\left(1,20-0,15\right)\text{V}=1,05\text{V}$

Pomijając jednostki układu SI możemy zapisać układ równań, z którego wyznaczymy wartości współczynników:

$\{\begin{array}{l}3,55=-r_{w.\max }\cdot 0,30+{\mathcal{E}}_{\max }\\ 1,05=-r_{w.\max }\cdot 1,05+{\mathcal{E}}_{\max }|\cdot \left(-1\right)\end{array}$

$\frac{+\{\begin{array}{l}3,55=-0,30r_{w.\max }+{\mathcal{E}}_{\max }\\ -1,05=1,05r_{w.\max }-{\mathcal{E}}_{\max }\end{array}}{2,50=0,75r_{w.\max }}$

$0,75r_{w.\max }=2,50|:0,75$

$r_{w.\max }=\frac{2,50}{0,75}\approx 3,33\left[\Omega \right]$

Wówczas SEM maksymalna wynosi:

$-0,30r_{w.\max }+{\mathcal{E}}_{\max }=3,55|+0,30r_{w.\max }$

${\mathcal{E}}_{\max }=3,55+0,30r_{w.\max }$

Podstawiamy wyznaczoną wartość oporu wewnętrznego:

${\mathcal{E}}_{\max }\approx 3,55+0,30\cdot 3,33=3,55+0,999=$

$=4,549\text{V}\approx 4,55\text{V}$

Zatem:

$\{\begin{array}{l}{r}_{w.\max }=3,33\Omega \\ {\mathcal{E}}_{\max }=4,55\text{V}\end{array}$

Podobnie wyznaczamy minimalne współczynniki:

▶ współrzędne punktu pierwszego dla minimalnych współczynników:

$I_1=\left(0,15-0,05\right)\text{A}=0,10\text{A}$

$U_1=\left(3,80-0,15\right)\text{V}=3,65\text{V}$

▶ współrzędne punktu drugiego dla minimalnych współczynników:

$I_2=\left(1,10+0,05\right)\text{A}=1,15\text{A}$

$U_2=\left(1,20+0,15\right)\text{V}=1,35\text{V}$

Otrzymujemy następujący układu równań:

$\{\begin{array}{l}3,65=-r_{w.\min }\cdot 0,10+{\mathcal{E}}_{\min }\\ 1,35=-r_{w.\min }\cdot 1,15+{\mathcal{E}}_{\min }|\cdot \left(-1\right)\end{array}$

$\frac{+\{\begin{array}{l}3,65=-0,10r_{w.\min }+{\mathcal{E}}_{\min }\\ -1,35=1,15r_{w.\min }-{\mathcal{E}}_{\min }\end{array}}{2,30=1,05r_{w.\min }}$

$1,05r_{w.\min }=2,30|:1,05$

$r_{w.\min }=\frac{2,30}{1,05}\approx 2,19\left[\Omega \right]$

Wówczas:

$-0,10r_{w.\min }+\mathcal{E}=3,65|+0,10r_{w.\min }$

${\mathcal{E}}_{\min }=3,65+0,10r_{w.\min }$

Otrzymamy wówczas, że:

${\mathcal{E}}_{\min }=3,65+0,10\cdot 2,19=3,65+0,219=$

$=3,869\approx 3,87\left[\text{V}\right]$

Zatem:

$\{\begin{array}{l}{r}_{w.\min }=2,19\Omega \\ {\mathcal{E}}_{\min }=3,87\text{V}\end{array}$

Wyznaczamy średnią wartość siły elektromotorycznej:

${\mathcal{E}}_{\text{sˊr}}=\frac{{\mathcal{E}}_{\text{min}}+{\mathcal{E}}_{\text{max}}}{2}$  

$\mathcal{E}=\frac{3,87\text{V}+4,55\text{V}}{2}=\frac{8,42\text{V}}{2}=4,21\text{V}$  

Wyznaczamy średnią wartość opory wewnętrznego:

$r_{w.\text{sˊr}}=\frac{r_{w.\text{min}}+r_{w.\text{max}}}{2}$  

$r_{w.\text{sˊr}}=\frac{2,19\Omega +3,33\Omega }{2}=\frac{5,52\Omega }{2}=2,76\Omega$  

Szacujemy bezwzględną niepewność pomiarową:

$\Delta \mathcal{E}=\frac{{\mathcal{E}}_{\text{max}}-{\mathcal{E}}_{\text{min}}}{2}$  

$\Delta \mathcal{E}=\frac{4,55\text{V}-3,87\text{V}}{2}=\frac{0,68\text{V}}{2}=0,34\text{V}$  

$\Delta r_w=\frac{r_{w.\text{max}}-r_{w.\text{min}}}{2}$  

$\Delta r_w=\frac{3,33\Omega -2,19\Omega }{2}=\frac{1,14\Omega }{2}=0,57\Omega$  

Obliczamy względne niepewności pomiarowe.

Względna niepewność pomiarowa SEM:

${\delta }_{\mathcal{E}}=\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}}\cdot 100\%$

${\delta }_{\mathcal{E}}=\frac{0,34\text{V}}{4,05\text{V}}\cdot 100\%\approx 0,084\cdot 100\%=8,4\%$

Względna niepewność pomiarowa oporu wewnętrznego:

${\delta }_r=\frac{\Delta r_w}{r_w}\cdot 100\%$

${\delta }_r=\frac{0,57\Omega }{2,6\Omega }\cdot 100\%=0,219\cdot 100\%=21,9\%$

 

UWAGA!

Otrzymany wynik różni się od wyniku podanego w odpowiedziach, ponieważ można użyć różnych  danych do stworzenia układu równań. Również dopasowana prosta może być nieco inna niż ta przedstawiona w tym rozwiązaniu.