Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$U=230V$  

$t=4\text{min}=240s$  

Ciepło dostarczone do układu, aby zmienić temperaturę tego układu przedstawiamy wzorem:

$Q=m\cdot c_w\cdot \Delta T$  

gdzie $Q$  jest ciepłem dostarczonym do masy $m$ , aby podgrzać ją o temperaturę $\Delta T$ , $c_w$  jest ciepłem właściwym substancji.

Moc urządzenia elektrycznego przedstawiamy wzorem:

$P=I\cdot U$

gdzie $P$  jest mocą urządzenia elektrycznego podłączonego do napięcia $U$ , przez które przepływa prąd o natężeniu $I$ .

Wówczas praca wykonana przez grzałkę wynosi:

$W=P\cdot t$  

gdzie $W$  jest pracą jaką wykonuje urządzenie elektryczne o mocy $P$  w czasie $t$ .

Praca wykonana przez urządzenia jest równa ciepłu jakie należy dostarczyć wodzie, aby grzałka ją zagotowała.

Wyznaczmy z tej zależności natężenie prądu płynącego przez grzałkę:

$W=Q$  

$P\cdot t=m\cdot c_w\cdot \Delta T$  

$U\cdot I\cdot t=m\cdot c_w\cdot \Delta T\mid :\left(U\cdot t\right)$  

$I=\frac{m\cdot c_w\cdot \Delta T}{U\cdot t}$  

BADAMY POŁĄCZENIE SZEREGOWE GRZAŁEK

Jeżeli podłączymy drugą grzałkę o takim samym oporze szeregowo do grzałki pierwszej to natężenia prądów płynących przez te grzałki będzie takie samo:

$I_1=I_2=I=\frac{m\cdot c_w\cdot \Delta T}{U\cdot t}$  

BADAMY POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE GRZAŁEK

Jeśli grzałki połączymy równolegle to pierwsze prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Wówczas:

$I=I_1+I_2$  

Ponieważ grzałki są takie same, to:

$I_1=I_2$  

Wówczas:

$I=I_1+I_2$  

$I=I_2+I_2$  

$I=2\cdot I_2$  

Ponieważ podgrzewamy tą samą substancję o takiej samej masie $m$  i o taką zmianę temperatury $\Delta T$  oraz grzałki są w połączeniu równoległym, więc ich napięcia $U$  również są takie same jak napięcie prądu w całym obwodzie to możemy zapisać, że natężenie prądu przepływającego przez układ dwóch grzałek połączonych równolegle:

$I=\frac{m\cdot c_w\cdot \Delta T}{U\cdot t_2}$   

Wówczas:

$I=2\cdot I_2$  

$\frac{m\cdot c_w\cdot \Delta T}{U\cdot t_2}=2\cdot \frac{m\cdot c_w\cdot \Delta T}{U\cdot t}\mid :\left(m\cdot c_w\cdot \Delta T\right)$  

$\frac{1}{U\cdot t_2}=2\cdot \frac{1}{U\cdot t}\mid \cdot U$   

$\frac{1}{t_2}=\frac{2}{t}$    

Wymnażamy na krzyż:

$2\cdot t_2=t\mid :2$  

$t_2=\frac{1}{2}\cdot t$  

Co należało pokazać.

Z tego wynika, że grzałki należy połączyć równolegle, aby zagotować wodę w dwa razy krótszym czasie.