Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$v={10}^6\frac{m}{s}$  

$l=10cm=0,1m$  

$d=2cm=0,02m$  

$U=200V$  

Z tablic fizycznych odczytujemy masę i ładunek protonu:

$e=1,6\cdot {10}^{-19}C$  

$m_p=1,67\cdot {10}^{-27}kg$  

 

$a)$  

Czas ruchu cząstki będzie taki sam w pionie jak i w poziomie. Cząstka poruszając się poziomo ma stałą prędkość, dlatego jej czas ruchu możemy wyrazić wzorem:

$t=\frac{l}{v}$  

gdzie t jest czasem ruchu cząstki na drodze l z prędkością v. W pionie na cząstkę działa pole elketrostatyczne, czyli cząstka porusza się z przyspieszeniem. Oznacza to, że droga (odchylenie) jaką przebędzie cząstka możemy przedstawić wzorem:

$y=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$  

gdzie y jest odchyleniem cząstki, a jest przyspieszeniem z jakim porusza się proton, t jest czasem ruchu protonu w polu elektrostatycznym. Przyspieszenie cząstki w polu elektrostatycznym ma postać:

$a=\frac{q\cdot E}{m}$  

gdzie a jest przyspieszeniem cząstki o masie m i ładunku q znajdującej się w polu elektrostatycznym o natężeniu E. Ponieważ cząstka znajduje się pomiędzy okładkami kondensatora, to wartość natężenia pola elektrostatycznego wewnątrz kondensatora przedstawiamy wzorem:

$E=\frac{U}{d}$  

gdzie E jest natężeniem pola elektrostatycznego, U jest różnicą potencjałów pomiędzy okładkami (napięcie na kondensatorze), d jest odległością okładek kondensatora od siebie. Wówczas odchylenie protonu będzie miało postać:

$y=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$  

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{q\cdot E}{m_p}\cdot {\left(\frac{l}{v}\right)}^2$   

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{q\cdot \frac{U}{d}}{m_p}\cdot \frac{l^2}{v^2}$  

$y=\frac{q\cdot U\cdot l^2}{2\cdot d\cdot m_p\cdot v^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}C\cdot 200V\cdot {\left(0,1m\right)}^2}{2\cdot 0,02m\cdot 1,67\cdot {10}^{-27}kg\cdot {\left({10}^6\frac{m}{s}\right)}^2}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}C\cdot 200\frac{J}{C}\cdot 0,01m^2}{0,04m\cdot 1,67\cdot {10}^{-27}kg\cdot {10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}=\frac{3,2\cdot {10}^{-19}J\cdot m^2}{0,0668\cdot {10}^{-27+12}kg\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot m}=$  

$=\frac{3,2\cdot {10}^{-19}J\cdot m^2}{0,0668\cdot {10}^{-15}J\cdot m}\approx 47,9\cdot {10}^{-19-\left(-15\right)}m=47,9\cdot {10}^{-4}m=0,00479m\approx 0,5cm$  

 

$b)$  

Szybkość jaką otrzymał proton w punkcie A poruszając się pionowo obliczymy z zależności:

$v_{\text{pion}}=a\cdot t$  

gdzie v_pion jest szybkością protonu w punkcia A, a jest przyspieszeniem z jakim poruszał się proton, t jest czasem ruchu protonu. Z poprzedniego podpunku wiemy, że:

$a=\frac{e\cdot U}{d\cdot m_p}$   

$t=\frac{l}{v}$  

Wypadkową prędkość w punkcie A możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 

$v_A^2=v_{\text{pion}}^2+v^2\mid \sqrt{}$  

$v_A=\sqrt{v_{\text{pion}}^2+v^2}$  

Wówczas różnica pomiędzy prędkością uzyskaną przez proton w punkcie A, a prędkością początkową wynosi:

$\Delta v=v_A-v$  

$\Delta v=\sqrt{v_{\text{pion}}^2+v^2}-v$  

$\Delta v=\sqrt{{\left(a\cdot t\right)}^2+v^2}-v$  

$\Delta v=\sqrt{a^2\cdot t^2+v^2}-v$  

$\Delta v=\sqrt{{\left(\frac{e\cdot U}{d\cdot m_p}\right)}^2\cdot {\left(\frac{l}{v}\right)}^2+v^2}-v$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta v=\sqrt{{\left(\frac{1,6\cdot {10}^{-19}C\cdot 200V}{0,02m\cdot 1,67\cdot {10}^{-27}kg}\right)}^2\cdot {\left(\frac{0,1m}{{10}^6\frac{m}{s}}\right)}^2+{\left({10}^6\frac{m}{s}\right)}^2}-{10}^6\frac{m}{s}=\sqrt{{\left(\frac{320\cdot {10}^{-19}C\cdot V}{0,0334\cdot {10}^{-27}kg\cdot m}\right)}^2\cdot {\left(0,1\cdot {10}^{-6}s\right)}^2+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=$  

$=\sqrt{{\left(\frac{3,2\cdot {10}^2\cdot {10}^{-19}C\cdot \frac{kg\cdot m^2}{C\cdot s^2}}{3,34\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-27}kg\cdot m}\right)}^2\cdot 0,01\cdot {10}^{-12}{s}^2+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=\sqrt{{\left(\frac{3,2\cdot {10}^{-17}\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}{3,34\cdot {10}^{-29}kg\cdot m}\right)}^2\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{-12}{s}^2+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}\approx$  

$\approx \sqrt{{\left(0,96\cdot {10}^{-17-\left(-29\right)}\frac{m}{s^2}\right)}^2\cdot {10}^{-14}{s}^2+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=\sqrt{{\left(0,96\cdot {10}^{12}\frac{m}{s^2}\right)}^2\cdot {10}^{-14}{s}^2+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=$  

$=\sqrt{0,9216\cdot {10}^{24}\frac{m^2}{s^4}\cdot {10}^{-14}{s}^2+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=\sqrt{0,9216\cdot {10}^{10}\frac{m^2}{s^2}+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=$  

$=\sqrt{9,216\cdot {10}^{-1}\cdot {10}^{-2}\cdot {10}^{12}\frac{m^2}{s^4}+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=\sqrt{9,216\cdot {10}^{-3}\cdot {10}^{12}\frac{m^2}{s^4}+{10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=$  

$=\sqrt{\left(9,216\cdot {10}^{-3}+1\right)\cdot {10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}-{10}^6\frac{m}{s}=\sqrt{0,009216+1}\cdot {10}^6\frac{m}{s}-{10}^6\frac{m}{s}=\left(\sqrt{1,009216}-1\right)\cdot {10}^6\frac{m}{s}\approx$  

$\approx \left(1,0046-1\right)\cdot {10}^{-6}\frac{m}{s}=0,0046\cdot {10}^6\frac{m}{s}=4600\frac{m}{s}$