Soczewki dwuwypukłej ze szkła o promieniach krzywizn...- Zadanie Zadanie 12.67: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$r_{1} = 10 cm = 0, 1 m$

$r_{2} = 5 cm = 0, 05 m$

$n = \frac{3}{2}$

$n_{w} = 1, 3$

$d = 25 cm = 0, 25 m$

$a)$

Szukane:

$p_{α} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie powiększenia kątowego soczewki. Wzór na powiększenie kątowe lupy ma postać:

$p_{α} = \frac{α}{β}$

gdzie:

$p_{α}$ - powiększenie kątowe lupy,

$α$ - kąt widzenia obrazu,

$β$ - kąt, pod którym widziany byłby przedmiot znajdujący się w odległości dobrego widzenia, jeżeli nie używano by lupy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy uwzględniający kąty (pomijamy położenie soczewki):

gdzie:

$h$ - rzeczywista wysokość przedmiotu,

$H$ - wysokość obrazu powstałego w lupie,

$x$ - odległość przedmiotu od oka,

$d$ - odległość dobrego widzenia (odpowiada odległości w jakiej powstał obraz).

Naszym zadaniem jest wyznaczenie powiększenia kątowego lupy. Na rysunku pomocniczym zaakcentowano kąty, ale w rzeczywistej sytuacji mamy do czynienia z kątami małymi, czyli możemy zastosować przybliżenie:

$α = t g α$

$β = t g β$

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania!

Przybliżenie małych katów odnosi się do ich miary radialnej. Przykładowo kąt 1º ≈ 0,0174, a tg1º ≈ 0,0175, dlatego możemy przyjąć przybliżenie 1º ≈ tg1º.

Korzystając z wykonanego rysunku pomocniczego i funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że:

$t g α = \frac{h}{x}$

$t g β = \frac{h}{d}$

W takim wypadku powiększenie kątowe możemy przedstawić zależnością:

$p_{α} = \frac{α}{β}$

$p_{α} = \frac{t g α}{t g β}$

$p_{α} = \frac{\frac{h}{x}}{\frac{h}{d}}$

$p_{α} = \frac{h}{x} \cdot \frac{d}{h}$

$p_{α} = \frac{d}{x}$

Zauważmy, że nie znamy wielkości $x$ , czyli odległości przedmiotu od soczewki. Znamy jednak odległość w jakiej powstał obraz oraz parametry soczewki. Mamy do czynienia z soczewką dwuwypukłą umieszczoną w powietrzu, czyli z soczewką skupiającą. Dlatego korzystając z równania soczewki możemy otrzymać zależność:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} - \frac{1}{d}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki.

znak „-” (minus) wynika z faktu, że w tak małej odległości obraz powstanie po tej samej stronie soczewki co przedmiot (obraz pozorny).

Równanie materiałowe soczewki (równanie szlifierzy soczewek) ma postać:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{0}} - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$n$ - współczynnik załamania dla soczewki,

$n_{0}$ - współczynnik załamania dla otoczenia,

$r_{1}$ , $r_{2}$ - promienie krzywizn soczewki.

Zatem dla naszego przypadku (w powietrzu), gdzie $n_{0} = 1$ otrzymamy równanie materiałowe soczewki w postaci:

$\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

Mając dwa równania opisujące nam odwrotność ogniskowej możemy je porównać i wyznaczyć z nich odległość przedmiotu od oka:

$(n - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{d}$

$\frac{n - 1}{r _{1}} + \frac{n - 1}{r _{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{d} ∣ \cdot x d r_{1} r_{2}$

$\frac{( n - 1 ) x d r _{1} r _{2}}{r _{1}} + \frac{( n - 1 ) x d r _{1} r _{2}}{r _{2}} = \frac{x d r _{1} r _{2}}{x} - \frac{x d r _{1} r _{2}}{d}$

$(n - 1) x d r_{2} + (n - 1) x d r_{1} = d r_{1} r_{2} - x r_{1} r_{2} ∣ + x r_{1} r_{2}$

$(n - 1) x d r_{2} + (n - 1) x d r_{1} + x r_{1} r_{2} = d r_{1} r_{2}$

$x [(n - 1) d r_{2} + (n - 1) d r_{1} + r_{1} r_{2}] = d r_{1} r_{2}$

$x [(n - 1) d (r_{1} + r_{2}) + r_{1} r_{2}] = d r_{1} r_{2} ∣ : [(n - 1) d (r_{1} + r_{2}) + r_{1} r_{2}]$

$x = \frac{d r _{1} r _{2}}{( n - 1 ) d ( r _{1} + r _{2} ) + r _{1} r _{2}}$

Oznacza to, że powiększenie kątowe soczewki ma postać:

$p_{α} = \frac{d}{x}$

$p_{α} = \frac{d}{\frac{d r _{1} r _{2}}{( n - 1 ) d ( r _{1} + r _{2} ) + r _{1} r _{2}}}$

$p_{α} = d \cdot \frac{( n - 1 ) d ( r _{1} + r _{2} ) + r _{1} r _{2}}{d r _{1} r _{2}}$

$p_{α} = \frac{( n - 1 ) d ( r _{1} + r _{2} ) + r _{1} r _{2}}{r _{1} r _{2}}$

$p_{α} = \frac{( n - 1 ) d ( r _{1} + r _{2} )}{r _{1} r _{2}} + \frac{r _{1} r _{2}}{r _{1} r _{2}}$

$p_{α} = \frac{( n - 1 ) d ( r _{1} + r _{2} )}{r _{1} r _{2}} + 1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p_{α} = \frac{( \frac{3}{2} - 1 ) \cdot 0 , 25 m \cdot ( 0 , 1 m + 0 , 05 m )}{0 , 1 m \cdot 0 , 05 m} + 1 =$

$= \frac{( 1 , 5 - 1 ) \cdot 0 , 25 m \cdot 0 , 15 m}{0 , 005 m ^{2}} + 1 =$

$= \frac{0 , 5 \cdot 0 , 25 m \cdot 0 , 15 m}{0 , 005 m ^{2}} + 1 =$

$= \frac{0 , 01875 m ^{2}}{0 , 005 m ^{2}} + 1 =$

$= 3, 75 + 1 = 4, 75$

Odpowiedź: Powiększenie kątowe lupy wynosi 4,75.

$b)$

Dana w podpunkcie:

$n_{w} = 1, 3$

Szukane:

$p_{α} = ?$

Rozwiązanie:

W tym przypadku również wyznaczamy powiększenie tej samej lupy, ale tym razem jest ona zanurzona w wodzie. Oznacza to, że w równaniu materiałowym soczewki pozostanie nam współczynnik załamania dla otoczenia (woda) i będzie to równanie miało postać:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{w}} - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$

Powiększenie obrazu nadal będziemy mogli wyznaczyć z zależności:

$p_{α} = \frac{d}{x}$

Równanie soczewki również się nie zmieni:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} - \frac{1}{d}$

Ponownie porównujemy równania soczewek i wyznaczamy odległość przedmiotu od soczewki:

$(\frac{n}{n _{w}} - 1) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{d}$

$\frac{n}{n _{w} r _{1}} + \frac{n}{n _{w} r _{2}} - \frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{d} ∣ \cdot x d n_{w} r_{1} r_{2}$

$\frac{n x d n _{w} r _{1} r _{2}}{n _{w} r _{1}} + \frac{n x d n _{w} r _{1} r _{2}}{n _{w} r _{2}} - \frac{x d n _{w} r _{1} r _{2}}{r _{1}} - \frac{x d n _{w} r _{1} r _{2}}{r _{2}} = \frac{x d n _{w} r _{1} r _{2}}{x} - \frac{x d n _{w} r _{1} r _{2}}{d}$

$n x d r_{2} + n x d r_{1} - x d n_{w} r_{2} - x d n_{w} r_{1} = d n_{w} r_{1} r_{2} - x n_{w} r_{1} r_{2} ∣ + x n_{w} r_{1} r_{2}$

$n x d r_{2} + n x d r_{1} - x d n_{w} r_{2} - x d n_{w} r_{1} + x n_{w} r_{1} r_{2} = d n_{w} r_{1} r_{2}$

$x (n d r_{2} + n d r_{1} - d n_{w} r_{2} - d n_{w} r_{1} + n_{w} r_{1} r_{2}) = d n_{w} r_{1} r_{2}$

$x (n d (r_{1} + r_{2}) - n_{w} d (r_{1} + r_{2}) + n_{w} r_{1} r_{2}) = d n_{w} r_{1} r_{1}$

$x [(n - n_{w}) d (r_{1} + r_{2}) + n_{w} r_{1} r_{2}] = d n_{w} r_{1} r_{2} ∣ : [(n - n_{w}) d (r_{1} + r_{2}) + n_{w} r_{1} r_{2}]$

$x = \frac{d n _{w} r _{1} r _{2}}{( n - n _{w} ) d ( r _{1} + r _{2} ) + n _{w} r _{1} r _{2}}$

Wówczas powiększenie kątowe tej samej lupy w wodzie będzie miało postać:

$p_{α} = \frac{d}{x}$

$p_{α} = \frac{d}{\frac{d n _{w} r _{1} r _{2}}{( n - n _{w} ) d ( r _{1} + r _{2} ) + n _{w} r _{1} r _{2}}}$

$p_{α} = d \cdot \frac{( n - n _{w} ) d ( r _{1} + r _{2} ) + n _{w} r _{1} r _{2}}{d n _{w} r _{1} r _{2}}$

$p_{α} = \frac{( n - n _{w} ) d ( r _{1} + r _{2} ) + n _{w} r _{1} r _{2}}{n _{w} r _{1} r _{2}}$

$p_{α} = \frac{( n - n _{w} ) d ( r _{1} + r _{2} )}{n _{w} r _{1} r _{2}} + \frac{n _{w} r _{1} r _{2}}{n _{w} r _{1} r _{2}}$

$p_{α} = \frac{( n - n _{w} ) d ( r _{1} + r _{2} )}{n _{w} r _{1} r _{2}} + 1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p_{α} = \frac{( \frac{3}{2} - 1 , 3 ) \cdot 0 , 25 m \cdot ( 0 , 1 m + 0 , 05 m )}{1 , 3 \cdot 0 , 1 m \cdot 0 , 05 m} + 1 =$

$= \frac{( 1 , 5 - 1 , 3 ) \cdot 0 , 25 m \cdot 0 , 15 m}{0 , 0065 m ^{2}} + 1 =$

$= \frac{0 , 2 \cdot 0 , 25 m \cdot 0 , 15 m}{0 , 0065 m ^{2}} + 1 =$

$= \frac{0 , 0075 m ^{2}}{0 , 0065 m ^{2}} + 1 \approx$

$\approx 1, 15 + 1 = 2, 15$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.