Uczniowie zbudowali model mikroskopu...- Zadanie Zadanie 12.69: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$l = 22 cm$

$f_{1} = 2 cm$

$f_{2} = 12 cm$

Przyjmujemy, że zdolność dobrego widzenia wynosi:

$d = 25 cm$

Zauważ, że w naszym przypadku mamy:

$f_{obiektywu} = f_{1}$

$f_{okularu} = f_{2}$

Wykonajmy rysunek obrazujący powstawanie obrazu w mikroskopie:

$a)$

Warunek 1:

Zauważmy, że odległość przedmiotu w stosunku do ogniska obiektywu powinna spełniać równanie:

$x_{1} > f_{1}$

Warunek 2:

Kolejnym ważnym warunkiem jest to, że obraz powstały w okularze musi być pozorny, czyli:

$x_{2} < f_{2}$

Warunek 3:

W mikroskopie występują dwa układy optyczne: okular i obiektyw. Powiększenie obrazu w mikroskopie jest iloczynem powiększeń obu tych układów:

$p = p_{ob.} \cdot p_{ok}$

Aby w mikroskopie powstał ostry obraz, obraz wytworzony przez obiektyw musi znaleźć się prawie w ognisku okularu, wówczas:

$p = \frac{l \cdot d}{f _{ob.} \cdot f _{ok.}}$

gdzie $f_{ob.}$ jest ogniskową obiektywu, $f_{ok.}$ jest ogniskową okularu, $d$ jest odległością dobrego widzenia, $l$ jest odległością między okularem i obiektywem.

Powiększenie obrazu musi być większe od jeden, czyli następnym ważnym warunkiem jest, że:

$p > 1$

Czyli dla naszego przypadku mamy, że:

$\frac{l \cdot d}{f _{1} \cdot f _{2}} > 1$

$b)$

Dla soczewki skupiającej mamy równanie:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

gdzie $f$ jest ogniskową soczewki, $x$ jest odległością obrazu od soczewki, $y$ jest odległością obrazu od soczewki.

Zatem dla obiektywu i okularu otrzymujemy równania:

$\frac{1}{f _{1}} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{1}} oraz \frac{1}{f _{2}} = \frac{1}{x _{2}} - \frac{1}{y _{2}}$

Wyznaczmy odległość w jakiej powstał obraz w obiektywie:

$\frac{1}{f _{1}} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{y _{1}} ∣ - \frac{1}{x _{1}}$

$\frac{1}{f _{1}} - \frac{1}{x _{1}} = \frac{1}{y _{1}}$

Zamieniamy stronami:

$\frac{1}{y _{1}} = \frac{1}{f _{1}} - \frac{1}{x _{1}}$

$\frac{1}{y _{1}} = \frac{x _{1}}{f _{1} \cdot x _{1}} - \frac{f _{1}}{f _{1} \cdot x _{1}}$

$\frac{1}{y _{1}} = \frac{x _{1} - f _{1}}{f _{1} \cdot x _{1}}$

Z tego wynika, że:

$y_{1} = \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}}$

Korzystamy z warunku 2:

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że:

$l = y_{1} + x_{2}$

Zatem:

$x_{2} = l - y_{1}$

$x_{2} = l - \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}}$

Ponieważ $x_{2} < f_{2}$ to:

$l - \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} < f_{2}$

Z warunku 1 wiemy, że:

$x_{1} > f_{1}$

Oznacza to, że $x_{1} - f_{1} > 0$ i możemy obustronnie pomnożyć przez to wyrażenie bez zmian znaku nierówności:

$l (x_{1} - f_{1}) - f_{1} x_{1} < f_{2} (x_{1} - f_{1})$

$l x_{1} - l f_{1} - f_{1} x_{1} < f_{2} x_{1} - f_{1} f_{2} ∣ - f_{2} x_{1} + l f_{1}$

$l x_{1} - f_{1} x_{1} - f_{2} x_{1} < l f_{1} - f_{1} f_{2}$

$(l - f_{1} - f_{2}) x_{1} < (l - f_{2}) f_{1}$

Ponieważ $l - f_{1} - f_{2} > 0$ to możemy:

$(l - f_{1} - f_{2}) x_{1} < (l - f_{2}) f_{1} ∣ : (l - f_{1} - f_{2})$

$x_{1} < \frac{( l - f _{2} ) f _{1}}{l - f _{1} - f _{2}}$

$x_{1} < \frac{( 22 cm - 12 cm ) \cdot 2 cm}{22 cm - 2 cm - 12 cm}$

$x_{1} < \frac{10 cm \cdot 2 cm}{8 cm}$

$x_{1} < \frac{20 cm ^{2}}{8 cm}$

$x_{1} < \frac{5}{2} cm$

$x_{1} < 2, 5 cm$

Korzystamy z warunku 3:

Z tego wynika, że:

$y_{2} = d + y_{1} - l$

$y_{2} = d + \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} - l$

$y_{2} = \frac{d \cdot ( x _{1} - f _{1} )}{x _{1} - f _{1}} + \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} - \frac{l \cdot ( x _{1} - f _{1} )}{x _{1} - f _{1}}$

$y_{2} = \frac{d \cdot x _{1} - d \cdot f _{1}}{x _{1} - f _{1}} + \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}} - \frac{l \cdot x _{1} - f _{1} \cdot l}{x _{1} - f _{1}}$

$y_{2} = \frac{d \cdot x - d \cdot f _{1} + f _{1} \cdot x - l \cdot x + f _{1} \cdot l}{x - f _{1}}$

Z warunków wiemy, że:

$\frac{l \cdot d}{f _{1} \cdot f _{2}} > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot \frac{1}{f _{2}} > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot (\frac{1}{l - y _{1}} + \frac{1}{y _{2}}) > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot (\frac{1}{l - \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}}} + \frac{1}{\frac{d \cdot x _{1} - d \cdot f _{1} + f _{1} \cdot x _{1} - l \cdot x _{1} + f _{1} \cdot l}{x _{1} - f _{1}}}) > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot (\frac{1}{\frac{l \cdot ( x _{1} - f _{1} )}{x _{1} - f _{1}} - \frac{f _{1} \cdot x _{1}}{x _{1} - f _{1}}} + \frac{1}{\frac{d \cdot x _{1} - d \cdot f _{1} + f _{1} \cdot x _{1} - l \cdot x _{1} + f _{1} \cdot l}{x _{1} - f _{1}}}) > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot (\frac{x _{1} - f _{1}}{l \cdot ( x _{1} - f _{1} ) - f _{1} \cdot x _{1}} + \frac{x _{1} - f _{1}}{d \cdot x _{1} - d \cdot f _{1} + f _{1} \cdot x _{1} - l \cdot x _{1} + f _{1} \cdot l}) > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot (\frac{x _{1} - f _{1}}{x _{1} ( l - f _{1} ) - l \cdot f _{1}} + \frac{x _{1} - f _{1}}{x _{1} \cdot ( d + f _{1} - l ) + f _{1} \cdot ( l - d )}) > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot (\frac{( x _{1} - f _{1} ) \cdot [ x _{1} \cdot ( d + f _{1} - l ) + f _{1} \cdot ( l - d ) ]}{[ x _{1} ( l - f _{1} ) - l \cdot f _{1} ] \cdot [ x _{1} \cdot ( d + f _{1} - l ) + f _{1} \cdot ( l - d ) ]} + \frac{( x _{1} - f _{1} ) \cdot [ x _{1} \cdot ( l - f _{1} ) - l \cdot f _{1} ]}{[ x _{1} ( l - f _{1} ) - l \cdot f _{1} ] \cdot [ x _{1} \cdot ( d + f _{1} - l ) + f _{1} \cdot ( l - d ) ]}) > 1$

$l \cdot d \cdot \frac{1}{f _{1}} \cdot \frac{( x _{1} - f _{1} ) \cdot [ x _{1} \cdot ( d + f _{1} - l ) + f _{1} \cdot ( l - d ) ] + ( x _{1} - f _{1} ) \cdot [ x _{1} ( l - f _{1} ) - l \cdot f _{1} ]}{[ x _{1} \cdot ( l - f _{1} ) - l \cdot f _{1} ] \cdot [ x _{1} \cdot ( d + f _{1} - l ) + f _{1} \cdot ( l - d ) ]} > 1$

$l \cdot d \cdot (x_{1} - f_{1}) \cdot [x_{1} \cdot (d + f_{1} - l) + f_{1} \cdot (l - d)] + (x_{1} - f_{1}) \cdot [x_{1} (l - f_{1}) - l \cdot f_{1}] > f_{1} \cdot [x_{1} \cdot (l - f_{1}) - l \cdot f_{1}] \cdot [x_{1} \cdot (d + f_{1} - l) + f_{1} \cdot (l - d)]$

Zacznijmy od uproszczenia lewej strony wyrażenia:

$L = l \cdot d \cdot (x_{1} - f_{1}) \cdot [x_{1} \cdot (d + f_{1} - l) + f_{1} \cdot (l - d)] + (x_{1} - f_{1}) \cdot [x_{1} (l - f_{1}) - l \cdot f_{1}]$

$L = \underline{\underline{l \cdot d \cdot x_{1}^{2} \cdot (d + f_{1} - l)}} + \underline{l \cdot d \cdot x_{1} \cdot f_{1} \cdot (l - d)} - \underline{l \cdot d \cdot f_{1} \cdot x_{1} \cdot (d + f_{1} - l)} - l \cdot d \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - d) + \underline{\underline{x_{1}^{2} \cdot (l - f_{1})}} - \underline{x_{1} \cdot l \cdot f_{1}} - \underline{f_{1} \cdot x_{1} \cdot (l - f_{1})} - l \cdot f_{1}^{2}$

$L = x_{1}^{2} \cdot [l \cdot d \cdot (d + f_{1} - l) + (l - f_{1})] + x_{1} [l \cdot d \cdot f_{1} \cdot (l - d) - l \cdot d \cdot f_{1} \cdot (d + f_{1} - l) - l \cdot f_{1} - f_{1} \cdot (l - f_{1})] - l \cdot d \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - d) - l \cdot f_{1}^{2}$

$L = x_{1}^{2} \cdot [l \cdot d \cdot (d + f_{1} - l) + (l - f_{1})] + x_{1} [\underline{l^{2} \cdot d \cdot f_{1}} - \underline{\underline{l \cdot f_{1} \cdot d^{2}}} - \underline{\underline{l \cdot d^{2} \cdot f_{1}}} - l \cdot d \cdot f_{1}^{2} + \underline{l^{2} \cdot d \cdot f_{1}} - \underline{\underline{\underline{l \cdot f_{1}}}} - \underline{\underline{\underline{f_{1} \cdot l}}} - f_{1}^{2}] - l \cdot d \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - d) - l \cdot f_{1}^{2}$

$L = x_{1}^{2} \cdot [l \cdot d \cdot (d + f_{1} - l) + (l - f_{1})] + x_{1} [2 \cdot l^{2} \cdot d \cdot f_{1} - 2 \cdot l \cdot f_{1} \cdot d^{2} - l \cdot d \cdot f_{1}^{2} - 2 \cdot l \cdot f_{1} - f_{1}^{2}] - l \cdot d \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - d) - l \cdot f_{1}^{2}$

Podstawiamy dane liczbowe z pominięciem jednostek (centymetrów):

$L = x_{1}^{2} \cdot [22 \cdot 25 \cdot (25 + 2 - 22) + (22 - 2)] + x_{1} \cdot [2 \cdot 22^{2} \cdot 25 \cdot 2 - 2 \cdot 22 \cdot 2 \cdot 25^{2} - 22 \cdot 25 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 2 - 2^{2}] -$

$- 22 \cdot 25 \cdot 2^{2} \cdot (22 - 25) - 22 \cdot 2^{2} =$

$= x_{1}^{2} \cdot [550 \cdot 5 + 20] + x_{1} \cdot [48400 - 55000 - 2200 - 88 - 4] - 2200 \cdot (- 3) - 88 =$

$= x_{1}^{2} \cdot [1100 + 20] + x_{1} \cdot (- 8892) + 6600 - 88 =$

$= 1120 x_{1}^{2} - 8892 x_{1} + 6512$

Następnie uprośćmy prawą stronę:

$P = f_{1} \cdot [x_{1} \cdot (l - f_{1}) - l \cdot f_{1}] \cdot [x_{1} \cdot (d + f_{1} - l) + f_{1} \cdot (l - d)]$

$P = [x_{1} \cdot f_{1} \cdot (l - f_{1}) - l \cdot f_{1}] \cdot [x_{1} \cdot (d + f_{1} - l) + f_{1} \cdot (l - d)]$

$P = x_{1}^{2} \cdot f_{1} \cdot (l - f_{1}) \cdot (d + f_{1} - l) + \underline{x_{1} \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - f_{1}) \cdot (l - d)} - \underline{x_{1} \cdot l \cdot f_{1} \cdot (d + f_{1} - l)} - l \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - d)$

$P = x_{1}^{2} \cdot [f_{1} \cdot (l - f_{1}) \cdot (d + f_{1} - l)] + x_{1} \cdot [f_{1}^{2} \cdot (l - f_{1}) \cdot (l - d) - l \cdot f_{1} \cdot (d + f_{1} - l)] - l \cdot f_{1}^{2} \cdot (l - d)$

Podstawiamy dane liczbowe z pominięciem jednostek (centymetrów):

$P = x_{1}^{2} \cdot [22 \cdot (22 - 2) \cdot (25 + 2 - 22)] + x_{1} \cdot [2^{2} \cdot (22 - 2) \cdot (22 - 25) - 22 \cdot 2 \cdot (25 + 2 - 22)] - 22 \cdot 2^{2} \cdot (22 - 25) =$

$= x_{1}^{2} \cdot [22 \cdot 20 \cdot 5] + x_{1} \cdot [4 \cdot 20 \cdot (- 3) - 44 \cdot 5] - 22 \cdot 4 \cdot (- 3) = 2200 \cdot x^{2} + x \cdot [- 240 - 220] + 264 =$

$= 2200 x_{1}^{2} - 460 x_{1} + 264$

Wówczas otrzymujemy, że:

$L > P$

$1120 x_{1}^{2} - 8892 x_{1} + 6512 > 220 x_{1}^{2} - 460 x_{1} + 264 ∣ - 220 x_{1}^{2} + 460 x_{1} - 264$

$900 x_{1}^{2} - 8432 x_{1} + 6248 > 0 ∣ : 4$

$225 x_{1}^{2} - 2108 x_{1} + 1562 > 0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczmy deltę równania:

$Δ = (- 2108)^{2} - 4 \cdot 225 \cdot 1562 = 4752400 - 1405800 = 3346600$

Pierwiastek delty będzie wynosił:

$Δ = 3346600 \approx 1830$

Wówczas pierwiastki równania będą miały postać:

$x_{1.1} = \frac{2108 + 1830}{2 \cdot 900} = \frac{3938}{1800} \approx 2, 187778 \approx 2, 2$

$x_{1.2} = \frac{2108 - 1830}{2 \cdot 900} = \frac{278}{1800} \approx 0, 154444 \approx 0, 15$

Z tego wynika, że:

$(x_{1} - 2, 2) \cdot (x_{1} - 0, 15) > 0$

Wówczas otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, 0, 15) \cup (2, 2, + \infty)$

Z podpunktu a) wiemy, że:

$x > f_{1}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$x_{1} > 2, 2 cm$

Ponadto z warunku 2 mamy:

$x_{1} < 2, 5 cm$

Zatem otrzymujemy, że:

$2, 2 cm < x_{1} < 2, 5 cm$

$c)$

W zadaniu podane mamy, że:

$x_{1} = 2, 35 cm$

Z podpunkty b) wiemy, że:

$y_{1} = \frac{x \cdot f _{1}}{x - f _{1}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y_{1} = \frac{2 , 35 cm \cdot 2 cm}{2 , 35 cm - 2 cm} = \frac{4 , 7 cm ^{2}}{0 , 35 cm} \approx 13, 42 cm$

Zapiszmy równanie soczewki dla okularu:

$\frac{1}{l - y _{1}} + \frac{1}{y _{2}} = \frac{1}{f _{2}} ∣ - \frac{1}{l - y _{2}}$

$\frac{1}{y _{2}} = \frac{1}{f _{2}} - \frac{1}{l - y _{1}}$

$\frac{1}{y _{2}} = \frac{l - y _{1}}{f _{2} \cdot ( l - y _{1} )} - \frac{f _{2}}{f _{2} \cdot ( l - y _{1} )}$

$\frac{1}{y _{2}} = \frac{l - y _{1} - f _{2}}{f _{2} \cdot ( l - y _{1} )}$

Z tego wynika, że:

$∣ y_{2} ∣ = \frac{f _{2} \cdot ( l - y _{1} )}{l - y _{1} - f _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$∣ y_{2} ∣ = \frac{12 cm \cdot ( 22 cm - 13 , 42 cm )}{22 cm - 13 , 42 cm - 12 cm} =$

$= \frac{12 cm \cdot 8 , 58 cm}{- 3 , 42 cm} = \frac{102 , 96 cm ^{2}}{- 3 , 42 cm} \approx$

$\approx ∣ - 30 cm ∣ = 30 cm$

Powiększenie obrazu opisujemy wzorem:

$p = \frac{y}{x}$

gdzie $p$ jest powiększeniem, $x$ jest odległością przedmiotu od soczewki, $y$ jest odległością obrazu od soczewki.

Powiększenie obrazu przez obiektyw będzie miało postać:

$p_{1} = \frac{y _{1}}{x _{1}}$

$p_{1} = \frac{13 , 42 cm}{2 , 35 cm} \approx 5, 71$

Powiększenie przez okular będzie miało postać:

$p_{2} = \frac{y _{2}}{l - y _{2}}$

$p_{2} = \frac{30 cm}{22 cm - 13 , 42 cm} = \frac{30 cm}{8 , 58 cm} = 3, 49$

Wówczas całkowite powiększenie obrazu będzie miało postać:

$p = p_{1} \cdot p_{2}$

$p = 5, 71 \cdot 3, 49 = 19, 9279 \approx 20$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.