Dane:

$f=-15\text{cm}$  

$f{}^{\prime }=15\text{cm}$  

$p=\frac{1}{3}$  

Szukane:

$x=?$  

$p{}^{\prime }=?$  

Rozwiązanie:

Zacznijmy od wyznaczenia odległości przedmiotu od soczewki. Mamy do czynienia z soczewką rozpraszającą, czyli obraz jest na pewno pozorny, pomniejszony i prosty.

Powiększenie obrazu wówczas można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{\left|y\right|}{x}$

gdzie $x$  jest odległością przedmiotu od soczewki, $y$  jest odległością obrazu od soczewki. Z tego wynika, że odległość obrazu od soczewki rozpraszającej ma postać:

$\left|y\right|=px$  

Zatem dla soczewki rozpraszającej (y < 0) możemy zapisać, że:

$y=-px$  

Wiemy, że w ogólnym przypadku równanie soczewki ma postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

gdzie $f$  jest jej ogniskową. Wówczas dla naszego przypadku mamy:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{-px}$  

$\frac{1}{f}=\frac{p}{px}-\frac{1}{px}$  

$\frac{1}{f}=\frac{p-1}{px}\mid \cdot xf$  

$x=\frac{p-1}{p}\cdot f$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}}\cdot \left(-15\text{cm}\right)=\frac{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}}{\frac{1}{3}}\cdot \left(-15\text{cm}\right)=$  

$=\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\cdot \left(-15\text{cm}\right)=-2\cdot \left(-15\text{cm}\right)=30\text{cm}$  

Następnie soczewkę rozpraszającą zamieniamy na skupiającą. Wówczas powiększenie obrazu wynosi:

$p{}^{\prime }=\frac{y{}^{\prime }}{x}$  

Zatem odległość powstałego obrazu od tej soczewki to:

$y{}^{\prime }=p{}^{\prime }x$  

Korzystając z ogólnego równania soczewki otrzymujemy:

$\frac{1}{f{}^{\prime }}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y{}^{\prime }}$  

$\frac{1}{f{}^{\prime }}=\frac{1}{x}+\frac{1}{p{}^{\prime }x}$  

$\frac{1}{f{}^{\prime }}=\frac{p{}^{\prime }}{p{}^{\prime }x}+\frac{1}{p{}^{\prime }x}$  

$\frac{1}{f{}^{\prime }}=\frac{p{}^{\prime }+1}{p{}^{\prime }x}$  

Wymnażamy na krzyż:

$p{}^{\prime }x=\left(p{}^{\prime }+1\right)f{}^{\prime }$  

$p{}^{\prime }x=p{}^{\prime }f{}^{\prime }+f{}^{\prime }\mid -p{}^{\prime }f{}^{\prime }$  

$p{}^{\prime }x-p{}^{\prime }f{}^{\prime }=f{}^{\prime }$  

$p{}^{\prime }\left(x-f{}^{\prime }\right)=f{}^{\prime }\mid :\left(x-f{}^{\prime }\right)$  

$p{}^{\prime }=\frac{f{}^{\prime }}{x-f{}^{\prime }}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p{}^{\prime }=\frac{15\text{cm}}{30\text{cm}-15\text{cm}}=\frac{15\text{cm}}{15\text{cm}}=1$