Trzy ogniwa o jednakowych siłach elektromotorycznych...- Zadanie 3: Z fizyką w przyszłość. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

W zadaniu podane mamy, że:

$E_{1} = E_{2} = E_{3} = E$

Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Możemy zatem zapisać, że:

$I_{2} = I_{1} + I_{3}$

Zauważmy, że z rysunku dołączonego do zadania wynika, że mamy dwa oczka. Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy, że:

$E - I_{1} \cdot r_{1} = 0$

$- E + I_{2} \cdot r_{2} = 0$

$E - I_{3} \cdot r_{3} = 0$

Wówczas dla I oczka mamy, że:

${E - I_{1} \cdot r_{1} = 0 E - I_{3} \cdot r_{3} = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$+ \frac{{ E - I _{1} \cdot r _{1} = 0 - E + I _{3} \cdot r _{3} = 0}{- I _{1} \cdot r _{1} + I _{3} \cdot r _{3} = 0}$

Z tego wynika, że:

$- I_{1} \cdot r_{1} + I_{3} \cdot r_{3} = 0 ∣ + I_{1} \cdot r_{1}$

$I_{3} \cdot r_{3} = I_{1} \cdot r_{1} ∣ : r_{3}$

$I_{3} = I_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{3}}$

Dla II oczka mamy, że:

${- E + I_{2} \cdot r_{2} = 0 ∣ \cdot (- 1) E - I_{3} \cdot r_{3} = 0$

$+ \frac{{ E - I _{2} \cdot r _{2} = 0 E - I _{3} \cdot r _{3} = 0}{2 \cdot E - I _{2} \cdot r _{2} - I _{3} \cdot r _{3} = 0}$

Z tego wynika, że:

$2 \cdot E - I_{2} \cdot r_{2} - I_{3} \cdot r_{3} = 0 ∣ - 2 \cdot E + I_{3} \cdot r_{3}$

$- I_{2} \cdot r_{2} = - 2 \cdot E + I_{3} \cdot r_{3} ∣ \cdot (- 1)$

$I_{2} \cdot r_{2} = 2 \cdot E - I_{3} \cdot r_{3}$

$I_{2} \cdot r_{2} = 2 \cdot E - I_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{3}} \cdot r_{3}$

$I_{2} \cdot r_{2} = 2 \cdot E - I_{1} \cdot r_{1} ∣ : r_{2}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E - I _{1} \cdot r _{1}}{r _{2}}$

Pierwsze natężenie

Korzystając z I prawa Kirchhoffa wyznaczamy natężenie prądu I₁:

$I_{2} = I_{1} + I_{3}$

$\frac{2 \cdot E - I _{1} \cdot r _{1}}{r _{2}} = I_{1} + I_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{3}} ∣ \cdot r_{2} \cdot r_{3}$

$(2 \cdot E - I_{1} \cdot r_{1}) \cdot r_{3} = I_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3} + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{2}$

$2 \cdot E \cdot r_{3} - I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{3} = I_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3} + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{2} ∣ + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{3}$

$2 \cdot E \cdot r_{3} = I_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3} + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{2} + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{3}$

Zamieniamy stronami:

$I_{1} \cdot r_{2} \cdot r_{3} + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{2} + I_{1} \cdot r_{1} \cdot r_{3} = 2 \cdot E \cdot r_{3}$

$I_{1} \cdot (r_{2} \cdot r_{3} + r_{1} \cdot r_{2} + r_{1} \cdot r_{3}) = 2 \cdot E \cdot r_{3} ∣ : (r_{2} \cdot r_{3} + r_{1} \cdot r_{2} + r_{1} \cdot r_{3})$

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot r _{3} + r _{1} \cdot r _{2} + r _{1} \cdot r _{3}}$

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

Drugie natężenie

Zauważmy, że:

$I_{2} = \frac{2 \cdot E - I _{1} \cdot r _{1}}{r _{2}}$

Otrzymujemy wówczas, że drugie natężenie będzie miało postać:

$I_{2} = \frac{2 \cdot E - I _{1} \cdot r _{1}}{r _{2}}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E}{r _{2}} - \frac{I _{1} \cdot r _{1}}{r _{2}}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E}{r _{2}} - I_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E}{r _{2}} - \frac{2 \cdot E \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}} \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E}{r _{2}} - \frac{2 \cdot E \cdot r _{3} \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}{r _{2} \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )} - \frac{2 \cdot E \cdot r _{3} \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} ) - 2 \cdot E \cdot r _{3} \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + 2 \cdot E \cdot r _{1} \cdot r _{3} - 2 \cdot E \cdot r _{3} \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} )}{r _{2} \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot ( r _{3} + r _{1} )}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

Trzecie natężenie

Wiemy, że:

$I_{3} = I_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{3}}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$I_{3} = I_{1} \cdot \frac{r _{1}}{r _{3}}$

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}} \cdot \frac{r _{1}}{r _{3}}$

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$b)$

Przyjmijmy, że zmiana potencjału w punkcie B jest zerowa:

$V_{B} = 0$

Natomiast potencjał w punkcie A jest spadkiem napięcia na ogniwie 3. Możemy zapisać zatem, że:

$V_{A} = U_{3}$

Napięcie pomiędzy biegunami źródła przedstawiamy zależnością:

$U = E - I \cdot r$

gdzie U jest napięciem między biegunami źródła, ε jest siła elektromotoryczną, I jest natężeniem prądu w obwodzie, r jest oporem wewnętrznym ogniwa. Dla trzeciego ogniwa otrzymujemy, że:

$U_{3} = E - I_{3} \cdot r_{3}$

Z tego wynika, że napięcie pomiędzy punktami A i B będzie miało postać:

$U_{A B} = V_{B} - V_{A}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$U_{A B} = V_{B} - V_{A}$

$U_{A B} = 0 - U_{3}$

$U_{A B} = - U_{3}$

$U_{A B} = - (E - I_{3} \cdot r_{3})$

$U_{A B} = - (E - \frac{2 \cdot E \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}} \cdot r_{3})$

$U_{A B} = - (E - \frac{2 \cdot E \cdot r _{1} \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}})$

$U_{A B} = - (\frac{E \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} )}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}} - \frac{2 \cdot E \cdot r _{1} \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}})$

$U_{A B} = - \frac{E \cdot ( r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3} ) - 2 \cdot E \cdot r _{1} \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$U_{A B} = - \frac{E \cdot r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + E \cdot r _{1} \cdot r _{3} - 2 \cdot E \cdot r _{1} \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$U_{A B} = - \frac{E \cdot r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) - E \cdot r _{1} \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$U_{A B} = \frac{E \cdot r _{1} \cdot r _{3} - E \cdot r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} )}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$U_{A B} = E \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{3} - r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} )}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$c)$

Pytamy, do jakich postaci zredukują się wyprowadzone wzory, jeżeli:

$r_{1} = r_{2} = r_{3} = r$

Pierwsze natężenie:

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{3}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{r \cdot ( r + r ) + r \cdot r}$

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{r \cdot 2 \cdot r + r ^{2}}$

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{2 \cdot r ^{2} + r ^{2}}$

$I_{1} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{3 \cdot r ^{2}}$

$I_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{E}{r}$

Drugie natężenie:

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot ( r _{3} + r _{1} )}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot ( r + r )}{r \cdot ( r + r ) + r \cdot r}$

$I_{2} = \frac{2 \cdot E \cdot 2 \cdot r}{r \cdot 2 \cdot r + r ^{2}}$

$I_{2} = \frac{4 \cdot E \cdot r}{2 \cdot r ^{2} + r ^{2}}$

$I_{2} = \frac{4 \cdot E \cdot r}{3 \cdot r ^{2}}$

$I_{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{E}{r}$

Trzecie natężenie:

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{r \cdot ( r + r ) + r \cdot r}$

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{r \cdot 2 \cdot r + r ^{2}}$

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{2 \cdot r ^{2} + r ^{2}}$

$I_{3} = \frac{2 \cdot E \cdot r}{3 \cdot r ^{2}}$

$I_{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{E}{r ^{2}}$

Napięcie:

$U_{A B} = E \cdot \frac{r _{1} \cdot r _{3} - r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} )}{r _{2} \cdot ( r _{3} + r _{1} ) + r _{1} \cdot r _{3}}$

$U_{A B} = E \cdot \frac{r \cdot r - r \cdot ( r + r )}{r \cdot ( r + r ) + r \cdot r}$

$U_{A B} = E \cdot \frac{r ^{2} - r \cdot 2 \cdot r}{r \cdot 2 \cdot r + r ^{2}}$

$U_{A B} = E \cdot \frac{r ^{2} - 2 \cdot r ^{2}}{2 \cdot r ^{2} + r ^{2}}$

$U_{A B} = E \cdot \frac{- r ^{2}}{3 \cdot r ^{2}}$

$U_{A B} = - \frac{1}{3} \cdot E$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.