$\text{Dane:}$  

${\text{t}}_{\text{L}}=-5^{\circ }\text{C}$  

${\text{m}}_{\text{w}}=200\text{g}=0,2\text{kg}$  

${\text{t}}_{\text{w}}={20}^{\circ }\text{C}$  

${\text{t}}_{\text{k}}=0^{\circ }\text{C}$  

$\text{c}=4200\frac{\text{J}}{\text{kg}{\cdot }^{\circ }\text{C}}$  

${\text{c}}_{\text{L}}=2000\frac{\text{J}}{\text{kg}{\cdot }^{\circ }\text{C}}$  

${\text{L}}_{\text{t}}=334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  

 

$\text{a)}$    

Korzystamy w tym przypadku z bilansu cieplnego - ciepło oddane jest równe ciepłu pobranemu:

${\text{Q}}_{\text{odd.}}={\text{Q}}_{\text{pob. }}$  

Ciepło oddaje woda, która chłodzi się od temperatury 20^oC do temperatury 0^oC:

${\text{Q}}_{\text{odd.}}={\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)$  

Ciepło pobierane jest przez lód podczas ogrzewania lodu do temperatury topnienia:

${\text{Q}}_1={\text{m}}_{\text{L}}\cdot {\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)$  

Podczas topnienia lodu o temperaturze topnienia:

${\text{Q}}_2={\text{m}}_{\text{L}}\cdot {\text{L}}_{\text{t}}$  

Ciepło pobierane jest więc równe sumie wyżej wymienionych ilości ciepła:

${\text{Q}}_{\text{pob.}}={\text{Q}}_1+{\text{Q}}_2$  

${\text{Q}}_{\text{pob.}}={\text{m}}_{\text{L}}\cdot {\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)+{\text{m}}_{\text{L}}\cdot {\text{L}}_{\text{t}}$  

${\text{Q}}_{\text{pob.}}={\text{m}}_{\text{L}}\cdot \left[{\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)+{\text{L}}_{\text{t}}\right]$   

Porównujemy teraz wzory na ciepło oddane i pobrane i przekształcamy otrzymane równanie tak, aby otrzymać wzór na masę lodu:

${\text{Q}}_{\text{odd.}}={\text{Q}}_{\text{pob. }}$  

${\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)={\text{m}}_{\text{L}}\cdot \left[{\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)+{\text{L}}_{\text{t}}\right]$  

${\text{m}}_{\text{L}}\cdot \left[{\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)+{\text{L}}_{\text{t}}\right]={\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)\mid :\left[{\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)+{\text{L}}_{\text{t}}\right]$  

${\text{m}}_{\text{L}}=\frac{{\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)}{{\text{c}}_{\text{L}}\cdot \left({\text{t}}_{\text{k}}-{\text{t}}_{\text{L}}\right)+{\text{L}}_{\text{t}}}$  

Wstawiamy więc dane liczbowe i obliczamy:

${\text{m}}_{\text{L}}=\frac{0,2\sout{\text{kg}}\cdot 4200\frac{\text{J}}{\sout{\text{kg}}\cdot {}^{\circ }\text{C}}\cdot \left({20}^{\circ }\text{C}-0^{\circ }\text{C}\right)}{2000\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot {}^{\circ }\text{C}}\cdot \left(0^{\circ }\text{C}-\left(-5^{\circ }\text{C}\right)\right)+334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=$       

$=\frac{0,2\cdot 4200\frac{\text{J}}{{}^{\circ }\text{C}}\cdot {20}^{\circ }\text{C}}{2000\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot {}^{\circ }\text{C}}\cdot 5^{\circ }\text{C}+334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=$       

$=\frac{16800\text{J}}{10000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=\frac{16800\text{J}}{344000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}\approx$       

$\approx 0,0488\text{kg}=48,8\text{g}$  

Odpowiedź: Do schłodzenia wody potrzebne jest około 48,8 g lodu. 

 

$\text{b)}$  

Jeżeli pominiemy energię potrzebną do ogrzania lodu do temperatury topnienia, energia pobierana będzie energią potrzebną do stopienia lodu:

${\text{Q}}_{\text{pob.}}={\text{Q}}_2$   

${\text{Q}}_{\text{pob.}}={\text{m}}_{\text{L.b}}\cdot {\text{L}}_{\text{t}}$    

Energia oddana będzie taka sama jak w poprzednim podpunkcie:

${\text{Q}}_{\text{odd.}}={\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)$     

Możemy więc porównać wzory na ciepło pobrane i oddane, a następnie przekształcić otrzymane równanie tak, aby otrzymać wyrażenie na masę lodu:

${\text{m}}_{\text{L.b}}\cdot {\text{L}}_{\text{t}}={\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)$   

${\text{m}}_{\text{L.b}}=\frac{{\text{m}}_{\text{w}}\cdot \text{c}\cdot \left({\text{t}}_{\text{w}}-{\text{t}}_{\text{k}}\right)}{{\text{L}}_{\text{t}}}$   

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy: 

${\text{m}}_{\text{L.b}}=\frac{0,2\text{kg}\cdot 4200\frac{\text{J}}{\text{kg}{\cdot }^{\circ }\text{C}}\cdot \left({20}^{\circ }\text{C}-0^{\circ }\text{C}\right)}{334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=$   

$=\frac{16800\text{J}}{334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}\approx 0,0503\text{kg}\approx 50,3\text{g}$   

Różnica pomiędzy wynikiem z podpunktu a) i b) wynosi:

${\text{m}}_{\text{L.b}}={\text{m}}_{\text{L}}+k\cdot {\text{m}}_{\text{L}}\mid -{\text{m}}_{\text{L}}$  

${\text{m}}_{\text{L.b}}-{\text{m}}_{\text{L}}=k\cdot {\text{m}}_{\text{L}}\mid :{\text{m}}_{\text{L}}$  

$\frac{{\text{m}}_{\text{L.b}}-{\text{m}}_{\text{L}}}{{\text{m}}_{\text{L}}}=k$  

$k=\frac{{\text{m}}_{\text{L.b}}-{\text{m}}_{\text{L}}}{{\text{m}}_{\text{L}}}$  

$k=\frac{50,3\text{g}-48,8\text{g}}{48,8\text{g}}\cdot 100\%=\frac{1,5\sout{\text{g}}}{48,8\sout{\text{g}}}\cdot 100\%=$   

$\approx 0,03=3\%$   

Odpowiedź: Jeżeli pominiemy wartość energii potrzebnej do ogrzania lodu do temperatury, to ilość lodu potrzebna do schłodzenia wody wyniesie około 50,3 g. Wynik ten różni się od uzyskanego w punkcie a) o około 3%.