Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$m={10}^{-3}kg$

$a=2cm=2\cdot {10}^{-2}m$

Korzystamy z wzoru na moment bezwładności bryły sztywnej:

$J=m{r}^2$  

gdzie J jest momentem bezwładności caiał o masie m znajdującego się w odległości r od osi obrotu. 

 

$a)$  

Dwie kulki o takich samych masach znajdują się w takiej samej odległości od osi obrotu. Oznacza to, że ich momenty bezwładności są takie same:

$J_1=J_2=m{a}^2$  

Wówczas całkowity moment bezwładności dla tego układu wynosi:

$J_c=J_1+J_2$  

$J_c=m{a}^2+m{a}^2$  

$J_c=2m{a}^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$J_c=2\cdot {10}^{-3}kg\cdot {\left(2\cdot {10}^{-2}m\right)}^2=2\cdot {10}^{-3}kg\cdot 4\cdot {10}^{-4}{m}^2=8\cdot {10}^{-3-4}kg\cdot m^2=8\cdot {10}^{-7}kg\cdot m^2$   

 

$b)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że odległośc d jet równa wysokości trójkąta równobocznego. Możemy zatem zapisać, że:

$d=h$  

$d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Dwie kulki znajdują się w odległości a od osi obrotu. Kulka znajdująca się na osi obrotu ma zerowy moment bewzładności, ponieważ pomijamy jej rozmiary:

$J_1=0$  

Natomiast dwie pozostałe kulki będą miały moment bezwładności w postaci:

$J_2=J_3=m{d}^2$  

$J_2=J_3=m{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$J_2=J_3=\frac{3}{4}m{a}^2$    

Wówczas całkowity moment bezwładności będzie miał postać:

$J_c=J_1+J_2+J_3$  

$J_c=0+\frac{3}{4}m{a}^2+\frac{3}{4}m{a}^2$  

$J_c=\frac{6}{4}m{a}^2$  

$J_c=\frac{3}{2}m{a}^2$    

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$J_c=\frac{3}{2}\cdot {10}^{-3}kg\cdot {\left(2\cdot {10}^{-2}m\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot {10}^{-3}kg\cdot 4\cdot {10}^{-4}{m}^2=6\cdot {10}^{-3-4}kg\cdot m^2=6\cdot {10}^{-7}kg\cdot m^2$     

 

$c)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

W tym przypadku oś odrotu znajduje się w miejscu przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Oznacza to, że odległość każdej kulki od osi obrotu wynosi:

$d=\frac{2}{3}h$  

gdzie h jest wysokością trójkata równobocznego. Wysokość trójkąta równobocznego wyznaczamy korzystając z wzoru:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

gdzie a jest długościa boku. Wówczas otrzymujemy, że moment bezwładności każdej z kulek wynosi:

$J_1=J_2=J_3=J$  

$J=m{d}^2$  

$J=m{\left(\frac{2}{3}h\right)}^2$  

$J=m{\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$J=m{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)}^2$  

$J=\frac{3}{9}m{a}^2$  

$J=\frac{1}{3}m{a}^2$  

Wówczas całkowity moment bezwładności wynosi:

$J_c=J_1+J_2+J_3$  

$J_c=J+J+J$  

$J_c=3J$

$J_c=3\cdot \frac{1}{3}m{a}^2$  

$J_c=m{a}^2$  

Podsatawiamy dane liczbowe do wzoru:

$J_c={10}^{-3}kg\cdot {\left(2\cdot {10}^{-2}m\right)}^2={10}^{-3}kg\cdot 4\cdot {10}^{-4}{m}^2=4\cdot {10}^{-3-4}kg\cdot m^2=4\cdot {10}^{-7}kg\cdot m^2$