Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$T_1={50}^{\circ }C=323K$  

$T_2={100}^{\circ }C=373K$  

$p=3MPa=3\cdot {10}^{6}Pa$  

$\mu =28\frac{g}{\text{mol}}=28\cdot {10}^{-3}\frac{kg}{\text{mol}}$  

Stała gazowa wynosi:

$R=8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}$  

Zapiszmy równanie Clapeyrona:

$pV=nRT$  

gdzie p jest ciśnieniem, V jest objętością, n jest liczbą moli, R jest stałą gazową, T jest temperaturą. Wiemy, że liczbę moli możemy przedstawić jako stosunek masy gazu do masy mola gazu:
$n=\frac{m}{\mu }$  

Wówczas równanie przyjmie postać:

$pV=\frac{m}{\mu }RT$  

Wyznaczmy z niego masę:

$pV=\frac{m}{\mu }RT\mid \cdot \mu$  

$pV\mu =mRT\mid :RT$  

$\frac{pV\mu }{RT}=m$

Zamieniamy stronami:

$m=\frac{pV\mu }{RT}$  

Wiemy również, że masę możemy wyznaczyć korzystając z wzoru na gęstość:

$\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho V$  

gdzie ρ jest gęstością, m jest masą, V jest objetością. Wówczas otrzymujemy, że:

$\rho V=\frac{pV\mu }{RT}\mid :V$  

$\rho =\frac{p\mu }{RT}$  

Wiemy, że ciśnienie gazu nie ulega zmianie. Możemy zatem zapisać, zależności na gęstość dla każdej z temperatur:

${\rho }_1=\frac{p\mu }{R{T}_1}$  

${\rho }_2=\frac{p\mu }{R{T}_2}$  

Wówczas zmiana gęstości azotu będzie miała postać:

$\Delta \rho ={\rho }_1-{\rho }_2$  

$\Delta \rho =\frac{p\mu }{R{T}_1}-\frac{p\mu }{R{T}_2}$  

$\Delta \rho =\frac{p\mu }{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta \rho =\frac{3\cdot {10}^{6}Pa\cdot 28\cdot {10}^{-3}\frac{kg}{\text{mol}}}{8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}}\cdot \left(\frac{1}{323K}-\frac{1}{373K}\right)\approx \frac{3\cdot {10}^6\frac{kg}{m\cdot s^2}\cdot 28\cdot {10}^{-3}\frac{kg}{\text{mol}}}{8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}}\cdot \left(0,003096\frac{1}{K}-0,002681\frac{1}{K}\right)=$   

$=\frac{84\cdot {10}^{6+\left(-3\right)}\frac{k{g}^2}{m\cdot s^2\cdot \text{mol}}}{8,31\frac{kg\cdot \frac{m^2}{s^2}}{\text{mol}\cdot K}}\cdot 0,000415\frac{1}{K}=\frac{84\cdot {10}^3\frac{k{g}^2}{m\cdot s^2\cdot \text{mol}}}{8,31\frac{kg\cdot m^2}{\text{mol}\cdot s^2\cdot K}}\cdot 0,000415\frac{1}{K}\approx 10,12\cdot {10}^3\frac{kg\cdot K}{m^3}\cdot 0,000415\frac{1}{K}=$   

$=0,0041998\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=4,1998\frac{kg}{m^3}\approx 4,2\frac{kg}{m^3}$