$a)$

Wykonujemy obliczenia pomocnicze.

Przyspieszenie na poszczególnych etapach wynosi:

$a_1=-3\frac{m}{s^2}$

$a_2=0\frac{m}{s^2}$

$a_3=2\frac{m}{s^2}$

Zmiana czasu na poszczególnych etapach ruchu wynosiła:

$\Delta t_1=3s-0s=3s$

$\Delta t_2=5s-3s=2s$

$\Delta t_3=8s-5s=3s$

Znając przyspieszenia i czasy przekształcamy wzór na przyspieszenie tak, aby obliczyć prędkość:

$a=\frac{v}{t}\Rightarrow v=a\cdot t$

Obliczamy prędkości na poszczególnych etapach ruchu:

$\Delta v_1=a_1\cdot \Delta t_1=-3\frac{m}{s^2}\cdot 3s=-9\frac{m}{s}$

$\Delta v_2=a_2\cdot \Delta t_2=0\frac{m}{s^2}\cdot 2s=0\frac{m}{s}$

$\Delta v_3=a_3\cdot \Delta t_3=2\frac{m}{s^2}\cdot 3s=6\frac{m}{s}$

Pamiętamy, że prędkość początkowa wynosi:

$v_0=54\frac{km}{h}=54\cdot \frac{1000m}{3600s}=15\frac{m}{s}$

Powstały wykres wygląda następująco:

 

$b)$

Wykonujemy obliczenia pomocnicze.

Ruch samochodu dzielimy na 3 etapy. 

I etap

Początkowo samochód porusza się z prędkością:

$v_0=54\frac{\text{km}}{\text{h}}=54\cdot \frac{1000\text{m}}{3600\text{s}}=15\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Samochód zwalnia przed pasami. Porusza się on z opóźnieniem równym:

$a_1=3\frac{m}{s^2}$

Czas hamowania wynosi:

$t_1=3s$

Drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie $s$  jest drogą jaką przebyło ciało, $v_0$  jest prędkością początkową z jaką poruszało się to ciało, $a$  jest opóźnieniem z jakim poruszało się ciało, $t$  jest czasem ruchu tego ciała. Wówczas zależność drogi od czasu na tym etapie ruchu ma postać:

$s_1\left(t\right)=15\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot 3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot t^2$  

$s_1\left(t\right)=15\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot t^2$  

Droga przebyta w tym ruchu dla poszczególnych czasów wynosi:

$s_1\left(1\text{s}\right)=15\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\text{s}-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(1\text{s}\right)}^2=15\text{m}-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1{\text{s}}^2=15\text{m}-1,5\text{m}=13,5\text{m}$  

$s_1\left(2\text{s}\right)=15\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2\text{s}-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2\text{s}\right)}^2=30\text{m}-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{s}}^2=30\text{m}-6\text{m}=24\text{m}$  

$s_1\left(3\text{s}\right)=15\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 3\text{s}-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(3\text{s}\right)}^2=45\text{m}-1,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 9{\text{s}}^2=45\text{m}-13,5\text{m}=31,5\text{m}$  

II etap

Samochód przez pasy przejeżdża ze stałą prędkością. Znając jego początkową prędkość $v_0$  obliczamy prędkość w chwili przejazdu przez pasy. Prędkość ciała w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v=v_0-at$  

gdzie $v$  jest prędkością końcową ciała, $v_p$  jest prędkością początkową ciała, $a$  jest opóźnieniem z jakim poruszało się to ciało, $t$  jest czasem ruchu ciała. Z wykresu wynika, że samochód hamował przez 3 sekundy. Wówczas:

$v=15\frac{\text{m}}{\text{s}}-3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 3\text{s}=15\frac{\text{m}}{\text{s}}-9\frac{\text{m}}{\text{s}}=6\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Droga przebyta w tym ruchu:

$s\left(t\right)=v\cdot t$  

Ruch jest jednostajny, czyli zależność jest liniowa. Początkowo samochód przebył już pewną drogę ruchem opóźnionym  $s_1=31,5\text{m}$  oraz czas ruchu samochodu mierzymy od trzeciej sekundy. Dodajmy otrzymaną drogę do drogi przebytej z opóźnieniem oraz od czasu odejmujemy czas, gdy samochód poruszał się z opóźnieniem:

$s_2\left(t\right)=s_1+v\cdot \left(t-3\text{s}\right)$  

$s_2\left(t\right)=31,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-3\text{s}\right)$  

Wówczas dla poszczególnych czasów mamy:

$s_2\left(4\text{s}\right)=31,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(4\text{s}-3\text{s}\right)=31,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\text{s}=31,5\text{m}+6\text{m}=37,5\text{m}$  

$s_2\left(5\text{s}\right)=31,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(5\text{s}-3\text{s}\right)=31,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2\text{s}=31,5\text{m}+12\text{m}=43,5\text{m}$  

III etap

Samochód przyspiesza z przyspieszeniem równym:

$a_2=2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{p}t+\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie $s$  jest drogą jaką przebyło ciało, $s_0$  jest początkową drogą, jaką ciało przebyło we wcześniejszych etapach ruchu, $v_p$  jest prędkością początkową z jaką poruszało się to ciało, $a$  jest przyspieszeniem z jakim poruszało się ciało, $t$  jest czasem ruchu tego ciała. W naszym przypadku mamy, że:

$v_p=v=6\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Wówczas:

$s\left(t\right)=6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t+\frac{1}{2}\cdot 2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot t^2$  

$s\left(t\right)=6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot t^2$  

Zauważmy, że samochód już przebył wcześniej pewną drogę $s_2$  oraz czas jego ruchu jest mierzony od piątej sekundy. Wówczas:

$s_3\left(t\right)=s_2+s\left(t-5\text{s}\right)$  

$s_3\left(t\right)=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-5\text{s}\right)+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(t-5\text{s}\right)}^2$  

Wówczas dla poszczególnych czasów ruchu otrzymujemy, że:

$s_3\left(6s\right)=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(6\text{s}-5\text{s}\right)+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(6\text{s}-5\text{s}\right)}^2=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\text{s}+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(1\text{s}\right)}^2=$  

$=43,5\text{m}+6\text{m}+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1{\text{s}}^2=43,5\text{m}+6\text{m}+1\text{m}=50,5\text{m}$  

$s_3\left(7s\right)=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(7\text{s}-5\text{s}\right)+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(7\text{s}-5\text{s}\right)}^2=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2\text{s}+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2\text{s}\right)}^2=$  

$=43,5\text{m}+12\text{m}+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{s}}^2=43,5\text{m}+12\text{m}+4\text{m}=59,5\text{m}$   

$s_3\left(8s\right)=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(8\text{s}-5\text{s}\right)+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(8\text{s}-5\text{s}\right)}^2=43,5\text{m}+6\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 3\text{s}+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(3\text{s}\right)}^2=$  

$=43,5\text{m}+18\text{m}+1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 9{\text{s}}^2=43,5\text{m}+18\text{m}+9\text{m}=70,5\text{m}$  

Powstały wykres wygląda następująco: