Autorzy:Bogdan Mendel, Janusz Mendel

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2012

Na jakiej wysokości nad powierzchnią... 4.86 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Fizyka

Dane:

`R=6380km=6380000m `

`T=24h=86400s ` 

`g=10m/s^2 `

Szukane:

`h=? `

Rozwiązanie:

Na układ złożony z planety o masie `M` oraz satelity o masie `m` , która krąży po orbicie o promieniu `R+h` działają dwie siły:

Siła wzajemnego przyciągania się obu ciał, wyrażona wzorem

`F=G(M*m)/(R+h)^2 `

A także siła dośrodkowa, powodująca poruszanie się satelity po orbicie, wyrażona wzorem

`F_d=(mV^2)/(R+h)` , gdzie `V=(2pi(R+h))/T` , a więc `F_d=(m((2pi(R+h))/T)^2)/(R+h)`

Siły te się równoważą

`F=F_d`

Dzięki porównaniu tych sił jesteśmy w stanie wyznaczyć wysokość `h`  na jakiej znajduje się satelita

`G(M*m)/(R+h)^2=(m((2pi(R+h))/T)^2)/(R+h) `    skracamy przez `m` i mnożymy przez `(R+h)`  

` (GM)/(R+h)=((2pi(R+h))/T)^2` 

`(GM)/(R+h)=(4pi^2(R+h)^2)/T^2`   mnożymy przez `(R+h)` 

`GM=(4pi^2(R+h)^3)/T^2`   mnożymy przez `T^2`  i dzielimy przez `4pi^2`

`(GMT^2)/(4pi^2)=(R+h)^3 ` 

`root(3)((GMT^2)/(4pi^2))=R+h`    odejmujemy obustronnie `R` 

`h=root(3)((GMT^2)/(4pi^2))-R` 

Korzystając z zależnośći:

`g=(G(M*m)/R^2)/m=(GM)/R^2 ` 

`GM=g*R^2 ` 

Wstawiamy do powyższego wzoru

`h=root(3)((gR^2T^2)/(4pi^2))-R `

Podstawiamy dane liczbowe i wyliczamy wysokość `h` na jakiej znajduje się satelita

`h=root(3)((10m/s^2*(6380000m)^2*(86400s)^2)/(4*(3,14)^2))-6380000m` 

`h=root(3)(7,70*10^(22)m^3)-6380000m=42551661m-6380000m=36171661m~~36172km` 

Odpowiedź: Satelita znajduje się na wysokości około 36172 km nad powierzchnią Ziemi