$\left|\Omega \right|=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{\cancel{3!}\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{\cancel{3!}\cdot 2\cdot 3}=\frac{120}{6}=20$   

$\left|A\right|=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=\frac{5!}{4!\cdot 1!}\cdot \frac{6!}{4!\cdot 2!}\cdot 24=$   

$=\frac{{\cancel{4!}}^1\cdot 5}{{\cancel{4!}}_1}\cdot \frac{{\cancel{4!}}^1\cdot 5\cdot 6}{{\cancel{4!}}_1\cdot 2}\cdot 24=5\cdot 15\cdot 24=1800$  

---

$\left|\sphericalangle ESD\right|+\left|\sphericalangle ECD\right|={180}^{\circ }-\left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}\right)+\gamma =$

$={180}^{\circ }-\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)+\gamma \stackrel{\text{(*)}}{=}{180}^{\circ }-\frac{2\gamma }{2}+\gamma ={180}^{\circ }-\gamma +\gamma ={180}^{\circ }$

---

$\frac{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{87}}-m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t+10}{87}}}{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{87}}}\cdot 100\%=$  

$=\frac{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{87}}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{10}{87}}\right)}{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{87}}}\cdot 100\%=$  

$=\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{10}{87}}\right)\cdot 100\%\approx \left(1-0,92\right)\cdot 100\%=0,08\cdot 100\%=8\%$  

---

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1\cdot x_2>0\left(\text{*}\right)\\ x_1+x_2>0\left(\text{**}\right)\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{45}{q^4-1}q\ne 1;q\ne -1\\ a_1\left(q+q^3\right)=30\end{array}$  

---

$A=(-\infty ,2⟩\cup ⟨5,6)$

$B\cap \mathbb{N}=\left\{4,5,6\right\}$  

$B\backslash \mathbb{N}=\left(3,4\right)\cup \left(4,5\right)\cup \left(5,6\right)$  

$A\cup B=(-\infty ,2⟩\cup (3,6⟩$

$A{}^{\prime }=\left(2,5\right)\cup ⟨6,+\infty )$

$A{}^{\prime }\cap B=\left(3,5\right)\cup \left\{6\right\}$     

$B\backslash A=\varnothing$  

UWAGA

Oznaczenia zbiorów:

$\mathbb{N},\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{R}$  

powinny być normalnej wielkości (i niestety nie widać na nich pogrubienia)

---

$a\notin \left(1,+\infty \right)\Rightarrow a\in (-\infty ,-1⟩$  

$S=\left\{\left(x,y\right):{\log }_{x}y>{\log }_{y}x\right\}$

$\left|\cos x\right|<1\iff \cos x<1\wedge \cos x>-1\iff x\notin k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$\frac{P_{HGC}}{P_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}zy\sin \alpha }{3zy\sin \alpha }=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}\Rightarrow P_{HGC}=\frac{1}{6}{P}_{ABC}$     

$\frac{p}{q}=\left\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm \frac{1}{2}\right\}$

${\Delta }_{ABC}\equiv {\Delta }_{A{}^{\prime }B{}^{\prime }C{}^{\prime }}$  

$A\subset \mathbb{R}$  

$B\cancel{\subset }C$  

UWAGA  powyższy symbol powinien wyglądać tak:  ⊄ 

---

$\overrightarrow{u}\text{||}\overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{v}\right)$

$AP\perp OA$

$KL\text{||}AC$  

---

$\left|A{}^{\prime }A\right|$  

UWAGA użycie apostrofa oddala litery.

---

$0,\left(235\right)$  

UWAGA przy zapisywaniu liczby okresowej jej część ułamkowa jest za daleko od przecinka 

---

$\left(\left(1,+\infty \right)\cap ⟨-1,+\infty )\right)\cup \left(-3,+\infty \right)$  

UWAGA zewnętrzny nawias okrągły powinien być większy od zewnętrznego

---

Klamry:

$\underset{0}{\underbrace{\stackrel{\approx 1,4}{\sqrt{2}}>\stackrel{\approx 1,7}{\sqrt{3}}}}\Rightarrow \underset{0}{\underbrace{\stackrel{\approx 1,4}{\sqrt{2}}>\stackrel{\approx 2,2}{\sqrt{5}}}}$  

$10,13,15,\underset{\text{dolny kwartyl}}{\underbrace{15,}}19,24,25,\underset{\text{mediana}}{\underbrace{30,}}34,34,40,\underset{\text{goˊrny kwartyl}}{\underbrace{42,}}43,43,45$  

$\frac{\stackrel{\text{klasa II A}}{\overbrace{5\cdot 0+3\cdot 1+3\cdot 2+10\cdot 3+11\cdot 4+2\cdot 5+1\cdot 6}}+\stackrel{\text{klasa II B}}{\overbrace{10\cdot 1+15\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 5+2\cdot 7+1\cdot 8}}}{35+33}=$  

$=\frac{99+84}{68}=\frac{183}{68}=2\frac{47}{68}\approx 2,69$   

---

Tabelka:

Ostrosłup prawidłowy n-kątny	$n=3$	$n=6$
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa	$2\sqrt{255}$	$48\sqrt{6}$
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa	$4\sqrt{3}+2\sqrt{255}$	$48\sqrt{6}+24\sqrt{3}$
Pole podstawy ostrosłupa	$4\sqrt{3}$	$24\sqrt{3}$
Objętość ostrosłupa	$12$	$16\sqrt{63}$