Określ, jaki rodzaj biomu - Zadanie 4: Biologia na czasie 3. Zakres rozszerzony - strona 222
Biologia
Biologia na czasie 3. Zakres rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)
Określ, jaki rodzaj biomu 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 3 Klasa
  3. Biologia

W okolicy  mojego miejsca zamieszkania występuje  las liściasty strefy umiarkowanej. Obecnie jest lato, temperatura wynosi 27oC. Wieczorami występują burze z dość obfitymi opadami. W skład lasu wchodzą głównie drzewa liściaste (brzoza, dąb, olcha, grab) oraz mniejsze krzewy wchodzące w skład gęstego podszytu. Runo leśne bogate jest w borówki, grzyby oraz mchy. Zwierzęta występujące w okolicy są typowe dla tego biomu. Spotykam tu lisy, sarny a nawet dziki, a także płazy np. traszki. 

DYSKUSJA
klasa:
III liceum
Informacje
Autorzy: Franciszek Dubert, Marek Jurgowiak, Maria Marko-Worłowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326729218
Autor rozwiązania
user profile

Monika

32301

Nauczyciel

Wiedza
Wykresy nietypowych funkcji
Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $x$ z przedziału $(- ∞, 2)$ przybiera ona wartość $x^2 -3x + 2$, dla $x$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $x$ większych od $4$ jest to ${1}/{x}$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $x$ z przedziału $< 3, 4 >$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$x^2 - 3x + 2 = 0$
$△ = 1$
$x_1 = -1$
$x_2 = 2$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $(-∞, 2)$
2) Jest stała na przedziale $(2, 3)$
3) Maleje na przedziale $(4, ∞)$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $x$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie ${1}/{x}$ dla dodatnich $x$ jest zawsze większe od $0$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $f(x)$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba ${1}/{3}$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $f(x)$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $x = 3$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $x = 10$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $3, 10$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $f(x)$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 
Wartość bezwzględna
Ostatni temat w dziale równań i nierówności poświęcony jest wartości bezwzględnej - funkcji, którą poznaliśmy na samym początku, omawiając liczby rzeczywiste (wartość bezwzględna) .

Aby zabrać się do rozwiązywania takiego równania musimy przypomnieć sobie, czym właściwie była wartość bezwzględna. Dla przypomnienia: dostając liczbę dodatnią nic z nią nie robiła, dostając ujemną - zamieniała ją na dodatnią (czyli tak naprawdę "dostawiała" minusa przed nią). Na przykład:

$|3| = 4$
$|-4| = -(-4) = 4$

Równania z wartością bezwzględną mogą przybierać dwie postacie:
a) wartości bezwzględne występują obok siebie, np:
$|x+3| + |x-2| = 6$

b) wartość bezwzględna jest "zagnieżdżona" wewnątrz wartości bezwzględnej, np:
$||x+1| - 2| = 3$

Oczywiście te dwa typy mogą się łączyć w różnych konfiguracjach, warto jednak na początku omówić je na tych właśnie niezbyt zaawansowanych przykładach.

Zacznijmy od typu a), czyli równania $|x+3| + |x-2| = 6$.

Chcąc opuścić wartość bezwzględną musimy wiedzieć, jakiego znaku jest wyrażenie pod nią. Jako że musimy opuścić obie wartości bezwzględne naraz, musimy rozwiązywanie takiego równania rozbić na kilka przypadków.

Najpierw należy się zastanowić, dla jakich $x$-ów pierwsza i druga wartość bezwzględna będą dodatnie.

Pierwsza będzie dodatnia dla $x$ > $-3$, druga - dla $x$ > $2$. Obie będą więc dodatnie tylko wtedy, gdy $x$ > $2$.

Teraz zastanówmy się nad pozostałymi przypadkami. Jeśli $2$ >= $x$ > $-3$ - pierwsza będzie dodatnia, a druga ujemna. Jeżeli natomiast $-3$ >= $x$ - obie będą ujemne.

Opuśćmy zatem wartości bezwzględne dla przypadku 1 - obu dodatnich (jeśli liczba jest dodatnia, wartość bezwzględna nie zmienia jej znaku).

$x+3 + x - 2 = 6$
$2x = 5$
$x = {5}/{2}$

Uzyskaliśmy wynik, ale koniecznie trzeba sprawdzić, czy mieści się w naszym pierwszym przedziale. Nie wolno o tym zapominać - to bardzo częsty błąd w tego typu zadanich.

${5}/{2}$ > $2$

Okazuje się, że wynik mieści się w przedziale - uzyskaliśmy jedno rozwiązanie.

Czas na rozważenie kolejnych dwóch przypadków. Jeśli $2$ >= $x$ > $-3$, należy zmienić znak tylko drugiej wartości bezwzględnej, ponieważ kryła się pod nią liczba ujemna:

$x+3 - x + 2 = 6$
$5 = 6$

Jest to oczywista sprzeczność.

Trzeci przypadek $-3$ >= $x$ oznacza zmianę znaku obu wyrażeń pod wartością bezwzględną:

$-x-3-x+2 = 6$
$-2x = 7$
$x = -{7}/{2}$

Pozostaje jedynie sprawdzić:
$-{7}/{2}$ <= $-3$

Jest to prawda - uzyskaliśmy drugie rozwiązanie.

Metoda ta działa także w przypadku większej ilości wartości bezwzględnych - rozpatrujemy wtedy po prostu większą liczbę przedziałów.

Możemy przejść zatem do drugiej części: wartości bezwzględnej zagnieżdżonej wewnątrz innej:

$||x+1| - 3| = 3$

Metoda rozwiązywania takiego typu równań opiera się opuszczaniu wartości bezwzględnej od tej będącej w samym środku do tej na wierzchu. W tym przypadku oznacza to, że najpierw opuścimy $|x+1|$.

Rozbijamy to na dwa przypadki:
1) $x$ > $-1$ i wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$|x+1 - 2| =3$
$|x-2| =3$

Znowu musimy rozbić to na dwa przypadki, pamiętając jednak, że w tym momencie rozpatrujemy jedynie $x$-y większe od $-1$.

1.1) $x$ > $2$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$x-2 = 3$
$x = 5$

Uzyskaliśmy rozwiązanie i mieści się ono w naszych przedziałach $>-1$ i $>2$.

1.2) $x$ <= $2$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$-x-2 = 3$
$x = -1$

Uzyskaliśmy rozwiązanie, ale nie mieści się ono w naszych przedziałach - nie jest $>-1$. Odrzucamy je.

2) $x <= -1$ i wartość bezwzględna zmienia znak
$|-x-1-3| = 3$
$|-x-4| = 3$

Ponownie rozbijamy na dwa przypadki:
2.1) $x$ < $-4$ - wartość bezwzględna nie zmienia znaku
$-x-4 =3$
$x = -7$

Rozwiązanie spełnia oba kryteria.
2.2) $x$ > $-4$ - wartość bezwzględna zmienia znak
$x + 4 = 3$
$x = -1$

To rozwiązanie także spełnia oba kryteria.

To, co zrobiliśmy w rozwiązaniu, można czytelnie pokazać na schemacie:

1


Warto jeszcze wspomnieć, że nie ma znaczenia to, w którym przypadku umieścimy przypadek, gdy wartość bezwzględna jest równa zero - zależy to jedynie od naszego wyboru. Dobrze jest jednak mieć stały nawyk korzystania ze znaku "większy-równy" albo "mniejszy-równy" - będziemy wtedy mieli gwarancję, że nie zapomnimy uwzględnić tego w rozwiązaniu.

Rozwiązywanie bardziej złożonych równań z wartością bezwzględną to po prostu stosowanie tych dwóch metod - trzeba jedynie pamiętać, aby:

1) opusczać wszystkie wartości bezwzględne stojące "na tym samym poziomie" jednocześnie
2) przed opuszczeniem wartości zewnętrznej zająć się wartością wewnątrz
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom