II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

Wiemy, że środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje się w miejscu przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie 1

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/63858/2MLOA29MQUlnCuJ3Md1VGg%3D%3D_f8b072bdb69b15f6a9766b50fa6ad44e67e338d92fb2365505d787420473e3fc.jpg" width="292" height="290"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Wiemy, że trójkąt ABC jest równoramienny oraz: ∣CA∣=∣CB∣=5 cm Miara kąta AOC wynosi 120°. Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkąta AOC) możemy zapisać: α+β+120o=180o   α+β=60o   (⋆)

Trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od którejś przyprostokątnej to charakterystyczny trójkąt o kątach ostrych 30°, 60°.
Wiedząc to, można łatwo skonstruować taki trójkąt.

Niech A,B,C stanowią wierzchołki troˊjkąta prostokątnego, a punkt O jest sˊrodkiem okręgu wpisanego w troˊjkąt ABC. Pole troˊjkąta ABC jest sumą poˊl troˊjkątoˊw AOB, BOC i COA, ktoˊre mają tę samą wysokosˊcˊ r,

Boki obliczymy zauwaz˙ając, z˙e pole moz˙na policzycˊ na dwa sposoby i przyroˊwnując do siebie te wyraz˙enia. O=46 cm O=2a+b Znając obwoˊd figury moz˙emy uzalez˙nicˊ jeden bok od drugiego (w troˊjkącie roˊwnoramiennym).   2a+b=46 b=46−2a   Pole troˊjkąta: