$a)\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-2y=-1\end{array}$  

$\text{Przemnaz˙amy drugie roˊwnanie przez -1 (będziemy korzystacˊ z metody przeciwnych wspoˊłczynnikoˊw).}$

$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ -x+2y=1\end{array}$  

$\text{Dodajemy roˊwnania stronami:}$

$y+2y=5+1$  

$3y=6$    $\mid :3$  

$y=2$  

$\text{Wtawiamy wyliczonego y do dowolnego roˊwnania, na przykład do pierwszego.}$

$x+2=5$   $\mid -2$  

$x=5-2=3$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$

 

 

$b)\{\begin{array}{l}y-x=4\mid +x\\ 3\left(x+y\right)=24\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=4+x\\ x+y=8\end{array}$    

$\text{Wstawiamy pierwsze roˊwnanie do drugiego:}$

$x+4+x=8$  

$2x+4=8$   $\mid -4$  

$2x=4$   $\mid :2$  

$x=2$  

$y=4+x=4+2=6$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=6\end{array}$  

 

 

$c)\{\begin{array}{l}x-2y=4\\ x+3=2y\end{array}$  

$\text{Wstawiamy 2y wyraz˙one jako x+3 (drugie roˊwnanie) do pierwszego roˊwnania.}$

$x-\left(x+3\right)=4$  

$x-x-3=4$  

$-3=4$ $\text{ sprzecznosˊcˊ, więc cały układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązanˊ}$

 

 

$d)\{\begin{array}{l}3x-1=y-2\mid +2\\ 4x-3=-2\left(y-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x+1=y\\ 4x-3=-2y+4\mid +3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=3x+1\\ 4x=-2y+7\end{array}$  

$\text{Wstawiamy pierwsze roˊwnanie do drugiego:}$

$4x=-2\left(3x+1\right)+7$  

$4x=-6x-2+7$  

$4x=-6x+5$    $\mid +6x$  

$10x=5$    $\mid :10$  

$x=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$  

$y=3\cdot \frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}+1=1\frac{1}{2}+1=2\frac{1}{2}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=2\frac{1}{2}\end{array}$

 

 

$e)\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x-1\right)+y=-2\frac{1}{2}\\ x-7=1-y\mid +7\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x-1\right)+y=-\frac{5}{2}\mid \cdot 2\\ x=8-y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)+2y=-5\\ x=8-y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-1+2y=-5\\ x=8-y\end{array}$  

$\text{Wstawiamy drugie roˊwnanie do pierwszego:}$

$8-y-1+2y=-5$  

$y+7=-5$   $\mid -7$  

$y=-12$  

$x=8-y=8-\left(-12\right)=8+12=20$  

$\{\begin{array}{l}x=20\\ y=-12\end{array}$  

 

$f)\{\begin{array}{l}\frac{x-y}{3}-\frac{x+y}{2}=-\frac{1}{2}\mid \cdot 6\\ x+y=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\left(x-y\right)-3\left(x+y\right)=-3\\ x=3-y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x-2y-3x-3y=-3\\ x=3-y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x-5y=-3\\ x=3-y\end{array}$  

$\text{Wstawiamy druge roˊwnanie do pierwszego:}$

  $-\left(3-y\right)-5y=-3$  

$-3+y-5y=-3$   $\mid +3$  

 

$-4y=0$

$y=0$

$x=3-y=3-0=3$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=0\end{array}$