Treść:

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ punkty $A=\left(1,-1\right)$ oraz $B=\left(4,0\right)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$ w którym $\left|CA\right|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że$\left|AM\right|:\left|MC\right|=1:4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $\mathbf{M}$ i przechodzi przez punkt $\mathbf{C}$. Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

Równanie okręgu o środku w punkcie $M$, do którego należy punkt $C$ jest postaci:

${\left(x-\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(y+{\frac{3}{5}}^{}\right)}^2=\frac{16}{5}$

---

Wyjaśnienie:

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny oraz $\left|AC\right|=\left|CB\right|$ oraz punkt $C$ należy do prostej $x+2y-4=0$, zatem z tego wynika, że punkt $C$ należy do symetralnej boku $AB$.

Symetralna odcinka $AB$ to prosta prostopadła do niego przechodząca przez jego środek.

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej $AB$:

$a_{AB}=\frac{0-\left(-1\right)}{4-1}=\frac{1}{3}$

Współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka $AB$ wynosi:

$a_{\text{sym.}}=\frac{-1}{\frac{1}{3}}=-3$

Zatem równanie symetralnej odcinka $AB$ jest postaci:

$y=-3x+b$

Wyznaczmy współrzędne środka - $S$ odcinka $AB$:

$x_S=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$

$y_S=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2}$

Punkt $S$ należy do symetralnej odcinka $AB$, więc:

$-\frac{1}{2}=-3\cdot \frac{5}{2}+b$

$b=-\frac{1}{2}+\frac{15}{2}$

$b=\frac{14}{2}$

$b=7$

Stąd równanie symetralnej odcinka $AB$ jest postaci:

$y=-3x+7$

Punkt $C$ należy do prostej $x+2y-4=0$ oraz do symetralnej odcinka $AB$. Wyznaczmy współrzędne punktu $C$:

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x+2y-4=0\\ & y=-3x+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x+2\cdot (-3x+7)-4=0\\ & y=-3x+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x-6x+14-4=0\\ & y=-3x+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -5x+10=0\\ & y=-3x+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -5x=-10\\ & y=-3x+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=-3\cdot 2+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=-6+7\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=1\end{array}\end{array}$

Stąd:

$C=\left(2,1\right)$

Obliczmy długość odcinka $AC$:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

Wiemy, że punkt $M$ należy do odcinka $AC$, zatem:

$\left|AM\right|+\left|MC\right|=\left|AC\right|$

Stąd:

$\left|AM\right|=\left|AC\right|-\left|MC\right|=\sqrt{5}-\left|MC\right|$

Oraz

$\frac{\left|AM\right|}{\left|MC\right|}=\frac{1}{4}$

Więc:

$\frac{\sqrt{5}-\left|MC\right|}{\left|MC\right|}=\frac{1}{4}$

$\left|MC\right|=4\cdot \left(\sqrt{5}-\left|MC\right|\right)$

$\left|MC\right|=4\sqrt{5}-4\cdot \left|MC\right|$

$5\left|MC\right|=4\sqrt{5}$

$\left|MC\right|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Długość $MC$ jest równa promieniowi okręgu o środku w punkcie $M$, do którego należy punkt $C$. 

Wyznaczmy równanie prostej $AC$ (równanie to jest postaci $y=ax+b$, musimy podstawić odpowiednie współrzędne punktów $A$ i $C$, aby wyznaczyć wartości współczynników $a$ i $b$):

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -1=a+b\\ & 1=2a+b\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& b=-1-a\\ & 1=2a-1-a\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& b=-1-a\\ & 1=a-1\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& b=-1-a\\ & a=2\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& b=-1-2\\ & a=2\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& b=-3\\ & a=2\end{array}\end{array}$

Zatem równanie prostej $AC$ jest postaci:

$y=2x-3$

Punkt $M$ należy do prostej $AC$, więc ma współrzędne postaci:

$M=\left(x,2x-3\right)$

Korzystając ze wzoru na długość odcinka $MC$ obliczmy współrzędne punktu $M$:

$\sqrt{{\left(2-x_M\right)}^2+{\left(1-y_M\right)}^2}=\left|MC\right|$

$\sqrt{{\left(2-x_M\right)}^2+{\left(1-\left(2x_M-3\right)\right)}^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}|{\left(\right)}^2$

${\left(2-x_M\right)}^2+{\left(1-2x_M+3\right)}^2=\frac{80}{25}$

${\left(2-x_M\right)}^2+(-2x_M+4{)}^2=\frac{80}{25}$

${\left(2-x_M\right)}^2+(4-2x_M{)}^2=\frac{16}{5}$

$4-4x_M+x_M^2+16-16x_M+4x_M^2=\frac{16}{5}$

$5x_M^2-20x_M+20=\frac{16}{5}$

$25x_M^2-100x_M+100=16$

$25x_M^2-100x_M+84=0$

$\Delta =100^2-4\cdot 25\cdot 84=10000-8400=1600,\sqrt{\Delta }=40$

$x_M=\frac{100-40}{2\cdot 25}=\frac{60}{50}=\frac{6}{5}$

$x_M=\frac{100+40}{2\cdot 25}=\frac{140}{50}=\frac{14}{5}$

Zauważmy, że:

$x_A=1\text{i}{x}_C=2$

Punkt $M$ należy do odcinka $AC$, więc:

$x_M\in \left(1,2\right)$

Stąd:

$x_M=\frac{6}{5}$

oraz

$y_M=2\cdot x_M-3=2\cdot \frac{6}{5}-3=\frac{12}{5}-3=\frac{12}{5}-\frac{15}{5}=-\frac{3}{5}$

Zatem

$M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)$

Równanie okręgu o środku $M$ i promieniu $MC$ to:

${\left(x-{\frac{6}{5}}^{}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{5}\right)}^2={\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)}^2$

Czyli:

${\left(x-\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(y+{\frac{3}{5}}^{}\right)}^2=\frac{16}{5}$