a)

Równanie kierunkowe szukanej prostej:

$y=ax+b$

Szukana prosta jest prostopadła do prostej:

$3\sqrt{6}x-6y-4=0$

Przekształcamy powyższe równanie do postaci kierunkowej:

$-6y=-3\sqrt{6}x+4|:(-6)$

$y=\frac{3\sqrt{6}}{6}x-\frac{4}{6}$

$y=\frac{\sqrt{6}}{2}x-\frac{2}{3}$

Dwie proste o równaniach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, więc:

$a\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=-1$

Stąd:

$a=-1\cdot \frac{2}{\sqrt{6}}=-\frac{2}{\sqrt{6}}=-\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{6}}{6}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

Czyli równanie szukanej prostej jest postaci:

$y=-\frac{\sqrt{6}}{3}x+b$

Prosta ta przechodzi przez punkt $A=\left(\sqrt{3},-2\right)$, więc możemy postawić współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczyć $b$:

$-2=-\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \sqrt{3}+b$

$-2=-\frac{\sqrt{18}}{3}+b$

$-2=-\frac{\sqrt{9\cdot 2}}{3}+b$

$-2=-\frac{3\sqrt{2}}{3}+b$

$-2=-\sqrt{2}+b$

$-b=-\sqrt{2}+2|:(-1)$

$b=\sqrt{2}-2$

Ostatecznie:

$\boxed{y=-\frac{\sqrt{6}}{3}x+\sqrt{2}-2}$

---

b)

Równanie kierunkowe szukanej prostej:

$y=ax+b$

Szukana prosta jest nachylona do osi $x$ pod kątem $120^{\circ }$, więc:

$a=\mathrm{tg}120^{\circ }$

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego i otrzymujemy, że:

$a=\mathrm{tg}\left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$

Czyli równanie szukanej prostej jest postaci:

$y=-\sqrt{3}x+b$

Prosta ta przechodzi przez punkt $A=\left(\sqrt{3},-2\right)$, więc możemy podstawić współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczyć $b$:

$-2=-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+b$

$-2=-3+b$

$-b=-3+2$

$-b=-1|:(-1)$

$b=1$

Ostatecznie:

$\boxed{y=-\sqrt{3}x+1}$